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CHAPITRE XXIX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

cette dernière condition n’est pas imposée aux foyers hamiltoniens.

L’une des solutions des équations aux variations est

${\begin{aligned}\xi &=f_{1}'(t),&\eta &=f_{2}'(t),\end{aligned}}$

Nous pouvons donc supposer

${\begin{aligned}\xi _{1}'&=f_{1}'(t'),&\eta _{1}'&=f_{2}'(t'),&\xi _{1}''&=f_{1}'(t''),&\eta _{1}''&=f_{2}'(t'').\end{aligned}}$

Ainsi sont définies les deux fonctions $\xi _{1}$ et $\eta _{1}.$

D’autre part, la différence entre la constante des forces vives relative à $(\mathrm {T} )$ et la constante des forces vives relative à $(\mathrm {T} ')$ est infiniment petite ; c’est évidemment une fonction linéaire des quatre constantes infiniment petites $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4}.$

Nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer que cette différence est précisément égale à $a_{4}$.

Alors, la condition pour que la valeur de la constante des forces vives soit la même pour $(\mathrm {T} )$ et $(\mathrm {T} '),$ c’est que $a_{4}=0,$ ou bien

${\begin{alignedat}{4}\xi &=a_{1}\xi _{1}&{}+{}&a_{2}\xi _{2}&{}+{}&a_{3}\xi _{3},\\\eta &=a_{1}\eta _{1}&{}+{}&a_{2}\eta _{2}&{}+{}&a_{3}\eta _{3}.\end{alignedat}}$

Maintenant, pour $t=t',$ $\xi$ et $\eta$ doivent être nuls, d’où les équations

${\begin{alignedat}{4}a_{1}\xi _{1}'&{}+{}&a_{2}\xi _{2}'&{}+{}&a_{3}\xi _{3}'&=0,\\a_{1}\eta _{1}'&{}+{}&a_{2}\eta _{2}'&{}+{}&a_{3}\eta _{3}'&=0.\end{alignedat}}$

D’autre part,la valeur de $x+\xi ,$ $y+\eta$ pour $t=t''\!+\varepsilon$ doit être la même (à des infiniment petits près d’ordre supérieur) que celle de $x$ et de $y$ pour $t=t'',$ ce qui s’écrit

${\begin{alignedat}{4}(\varepsilon +a_{1})&&\,\xi _{1}''&{}+{}&a_{2}\xi _{2}''&{}+{}&a_{3}\xi _{3}''&=0,\\(\varepsilon +a_{1})&&\,\eta _{1}''&{}+{}&a_{2}\eta _{2}''&{}+{}&a_{3}\eta _{3}''&=0,\end{alignedat}}$

d’où, par élimination,

(2)

$\left|{\begin{array}{cccc}\xi _{2}'&\xi _{3}'&\xi _{1}'&0\\\eta _{2}'&\eta _{3}'&\eta _{1}'&0\\\xi _{2}''&\xi _{3}''&0&\xi _{1}''\\\eta _{2}''&\eta _{3}''&0&\eta _{1}''\end{array}}\right|=0.$

En développant le déterminant, on trouve

$\left|{\begin{array}{cc}\xi _{1}'\eta _{2}'-\xi _{2}'\eta _{1}'&\xi _{1}'\eta _{3}'-\xi _{3}'\eta _{1}'\\\xi _{1}''\eta _{2}''-\xi _{2}''\eta _{1}''&\xi _{1}''\eta _{3}''-\xi _{3}''\eta _{1}''\end{array}}\right|=0$