Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/271

259

DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

tion nous donne approximativement

$\omega '={\frac {p}{\mathrm {I} }}$

et plus exactement

$\omega '={\frac {p}{\mathrm {I} }}-{\frac {1}{\mathrm {I} }}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega '}}\cdot$

De plus

${\frac {\mathrm {I} \omega '^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2\mathrm {I} }}-{\dfrac {p\,{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega '}}}{\mathrm {I} }}+{\frac {1}{2\mathrm {I} }}\left({\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega '}}\right)^{2}\cdot$

On trouve ainsi

$\mathrm {H} ''=\mathrm {T} _{1}+\mathrm {U} -{\frac {p^{2}}{2\mathrm {I} }}+{\frac {1}{2\mathrm {I} }}\left({\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega '}}\right)^{2}\cdot$

Dans le second membre, l’avant-dernier terme est une constante ; le dernier est négligeable parce que $\mathrm {I}$ est très grand.

Comme on peut, sans rien changer au principe de Hamilton, ajouter à $\mathrm {H} '$ une constante quelconque, nous pourrons poser

$\mathrm {H} '=\mathrm {T} _{1}+\mathrm {U}$

et nous saurons que l’intégrale

$\mathrm {J} ''=\int \mathrm {H} ''\,dt$

doit être minimum (alors même que les valeurs initiale et finale de $\omega$ ne sont pas données).

Dans l’expression de $\mathrm {H} '',$ $\omega '$ doit être regardée comme une constante donnée ; $\mathrm {H} ''$ est alors une fonction quadratique, non homogène par rapport aux $x_{i}',$ de la forme $\mathrm {H} _{0}+\mathrm {H} _{1}+\mathrm {H} _{2}.$

Soit, par exemple, un point matériel de masse 1 se mouvant dans un plan et dont les coordonnées par rapport aux axes mobiles sont $\xi$ et $\eta .$ On aura

$\mathrm {T} _{1}={\frac {(\xi '\!-\omega '\eta )^{2}+(\eta '\!-\omega '\xi )^{2}}{2}}\cdot$

Il viendra donc

${\begin{aligned}\mathrm {H} _{2}&={\frac {\xi '^{2}\!+\eta '^{2}}{2}},&\mathrm {H} _{1}&=\omega '(\xi \eta '\!-\xi '\eta ),&\mathrm {H} _{0}&={\frac {\omega '^{2}}{2}}(\xi ^{2}\!+\eta ^{2})+\mathrm {U} .\end{aligned}}$

L’intégrale

$\mathrm {J} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathrm {H} _{2}+\mathrm {H} _{1}+\mathrm {H} _{0})\,dt$