Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/267

255

DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

Cela posé, examinons le cas où $\mathrm {H}$ est de la forme suivante

$\mathrm {H} =\mathrm {H} _{0}+\mathrm {H} _{1}+\mathrm {H} _{2},$

$\mathrm {H} _{0},\,\mathrm {H} _{1},\,\mathrm {H} _{2}$ étant homogènes, respectivement de degré 0, 1, 2 par rapport aux variables $x_{i}'.$

On a alors

${\begin{aligned}\sum x_{i}'{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial x_{i}'}}&=2\mathrm {H} _{2}+\mathrm {H} _{1},\\[0.75ex]\mathrm {F} &=\mathrm {H} _{2}-\mathrm {H} _{0}\end{aligned}}$

et les

$y_{i}={\frac {\partial \mathrm {H} _{2}}{\partial x_{i}'}}+{\frac {\partial \mathrm {H} _{1}}{\partial x_{i}'}}$

sont des fonctions linéaires, mais non homogènes par rapport aux $x_{i}'.$

L’action hamiltonienne conserve la même forme

$\int \mathrm {H} \,dt.$

Voyons ce que devient l’action maupertuisienne.

Soit $h$ la constante des forces vives ; l’action maupertuisienne aura pour expression

$\int \left(\mathrm {H} +h\right)\,dt\,;$

mais il faut la mettre sous une forme indépendante du temps.

Pour cela, posons

$\mathrm {H} _{2}={\frac {d\tau ^{2}}{dt^{2}}},$

et

$\mathrm {H} _{1}={\frac {d\sigma }{dt}}\cdot$

$\mathrm {H} _{2}$ n’est autre chose que la force vive, et $d\tau ^{2}$ est ce que devient cette force vive quand on y remplace $x_{i}'$ par $dx_{i}.$ De même $d\sigma$ est ce que devient $\mathrm {H} _{1}$ quand on y remplace $x_{i}'$ par $dx_{i}\,;$ c’est donc une forme linéaire homogène par rapport aux différentielles $dx_{i}.$

Si l’on tient compte de l’équation des forces vives

$\mathrm {H} _{2}=\mathrm {H} _{0}+h,$

d’où

$dt={\frac {d\tau }{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}}$