sont données ; qu’arrive-t-il si les limites sont regardées comme variables. Comme ne dépend pas explicitement du temps, nous ne restreindrons pas la généralité en supposant que est constant et en donnant seulement à un accroissement Supposons, par exemple, et imaginons qu’après la variation les variables et aient à l’époque les mêmes valeurs qu’elles avaient à l’époque avant la variation.
On aura, avant la variation,
Mais
ne dépend pas du temps ; sa variation est donc nulle. On a donc simplement
La dérivée de l’action par rapport à la limite supérieure d’intégration est donc égale à la constante de l’énergie changée de signe.
Si cette constante est nulle, l’action est encore minimum, si l’on regarde les valeurs initiales et finales des variables comme données et quand même on ne regarderait pas comme données les valeurs initiale et finale du temps, et
Si l’on change en se change en
| (6) |
comme les équations (1) ne changent pas, cette expression (6) est encore minimum.
Mais, si l’on change en la constante des forces vives, qui était égale à devient nulle ; par conséquent, l’expression (6) est minimum, même si l’on ne regarde pas et comme donnés.
L’action est minimum quelles que soient les variables et elle sera donc minimum a fortiori si nous lui imposons une condition nouvelle compatible avec les équations (1).
Imposons-lui, par exemple, la condition de satisfaire à la pre-
