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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
pour et pour positif et très petit ; or il suffit de le
faire voir pour c’est-à-dire pour
Il reste donc finalement à démontrer que est une forme
définie négative.
Pour nous en rendre compte, nous écrirons la forme quadratique
de la manière suivante
est une somme de deux carrés affectés de coefficients dont je
ne préjuge pas le signe ; dépend seulement des variables
Cela est toujours possible d’après les propriétés générales des
formes quadratiques.
Considérons la forme
où est supposé positif et très petit. La forme ne
dépendant que des variables pourra être
égalée à une somme de carrés affectés de coefficients dont
les signes devront être les mêmes que ceux de
puisque, étant très petit, cette forme diffère très peu de
Ils ne changent donc pas de signe quand passe du positif au négatif.
D’après nos hypothèses, quand passe du positif au négatif,
de nos coefficients ne s’annulent pas et deux coefficients
au contraire passent du négatif au positif.
Ces deux derniers ne peuvent être que les coefficients de
Donc est la somme de deux carrés affectés de coefficients négatifs.
Pour avoir il faut dans faire
Alors s’annule et se réduit à
Donc est une forme définie négative.
C. Q. F. D.
Donc considéré comme fonction de et est maximum
pour positif et très petit et pour