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CHAPITRE XXVIII.

qui précède, nous obtiendrons au moins deux solutions d’ordre impair.

Soit ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}}$ l’une de ces solutions ; posons $y_{1}=\alpha _{1}u,$ $y_{2}=\alpha _{2}u$ et substituons dans l’équation (3), nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {U} _{0}'&=\mathrm {A} u^{p},&\mathrm {U} _{1}'&=\mathrm {B} u^{2}\end{aligned}}$

et l’équation (3) se réduit à

$\mathrm {A} u^{p-2}\pm \mathrm {B} =0.$

Si $p-2$ est impair, cette équation nous donnera une valeur réelle pour $u.$

Si $p-2$ est pair ; deux cas sont à distinguer.

Si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de même signe, nous prendrons le signe inférieur

$\mathrm {A} u^{p-2}-\mathrm {B} =0.$

Si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont de signes contraires, nous prendrons le signe supérieur

$\mathrm {A} u^{p-2}+\mathrm {B} =0,$

et nous aurons toujours deux valeurs réelles pour $u.$

Dans tous les cas, ces solutions réelles sont simples.

Ainsi, les équations (2) et (3) admettront toujours des solutions d’ordre impair.

Deuxième cas. — On a

$\mathrm {U} _{0}'=\mathrm {A} \left(\mathrm {U} _{1}'\right)^{\frac {p}{2}}.$

Nous commencerons alors par résoudre l’équation (3) qui s’écrit

${\frac {p}{2}}\,\mathrm {A} \left(\mathrm {U} _{1}'\right)^{{\frac {p}{2}}-1}\pm 1=0.$

Cette équation nous donne la valeur de $\mathrm {U} _{1}'\,;$ cette valeur est réelle et simple ; mais cela ne suffit pas, car $\mathrm {U} _{1}'$ est une forme définie négative ; il faut pour que la solution convienne que la valeur trouvée pour $\mathrm {U} _{1}'$ soit négative ; nous choisirons en conséquence le signe $\pm$

La valeur de $\mathrm {U} _{1}'$ ainsi déterminée, on attribue à $\mathrm {U} _{1}'$ cette valeur