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CHAPITRE XXII.
vient alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{dt}}=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}'(z+t)\,dx_{k}'=\int d\mathrm {U} (z+t)=\int \mathrm {U} (z+t)+f(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836135c8e583160322a1666768c4b53c107a7b70)
étant une fonction arbitraire de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Or
peut être regardé comme la dérivée par rapport à
d’une autre fonction
dépendant aussi des
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\,\mathrm {W} (z+t)=\mathrm {U} (z+t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8c784c17aadb1708e991f71be5ecf0bc639822)
Comme d’autre part
doit se réduire à une constante pour
nous conclurons finalement
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {W} (z+t)-\mathrm {W} (z)+\varphi (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86908129a5ffac250aece7b568259f789122635)
désignant une fonction arbitraire de
seulement que l’on
pourrait d’ailleurs supposer nulle sans restreindre essentiellement
la généralité.
On trouve alors
![{\displaystyle \mathrm {B} _{k}(z)={\frac {d}{dx_{k}'}}\,\mathrm {W} (z)+\mathrm {C} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6675e20d8d7733884f6d62a79bbb2677a9905c)
étant indépendant de
de sorte que l’expression (1 bis) se
réduit à
![{\displaystyle \int d\mathrm {W} +\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{k}\,dx_{k}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72bac04132ec8f6238c7b732394ee0f3b555f36)
la première intégrale étant celle d’une différentielle exacte et la
seconde étant un invariant intégral absolu.
240.Traitons de même un invariant relatif d’ordre supérieur
au premier ; soit
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2effee61185ca7997c7d55da4ac797a9ef17fe5)
cet invariant qui, après le changement de variables, deviendra
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,d\omega '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d3fbddbb01bbe0d11eb50797b3f48b39712401)
L’intégrale
(1)
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devra être nulle quelle que soit la variété fermée d’ordre
à
laquelle on l’étende.