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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

Supposons maintenant que $\alpha _{k}$ soit purement imaginaire. Alors $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ sont imaginaires conjugués et le produit $\mathrm {A} _{k}\mathrm {B} _{k}$ est la somme de deux carrés.

Pour que $\mathrm {S}$ ait un maximum, il faut et il suffit que toutes les quantités

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}},\quad -\mathrm {NT}$

soient négatives ; pour que $\mathrm {S}$ ait un minimum, il faut et il suffit que toutes ces quantités soient positives.

Il importe de remarquer que toutes ces quantités sont réelles ; car ${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}$ et ${\frac {\alpha _{k}}{\sqrt {-1}}}$ sont réels.

325.Comment ces résultats sont-ils modifiés si l’on suppose que la constante des forces vives est regardée comme une des données de la question. On a alors identiquement

$\sum \left({\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,x'+{\frac {d\mathrm {F} }{dy}}\,y'\right)=0,$

où l’on suppose que dans ${\frac {d\mathrm {F} }{dx}}$ et ${\frac {d\mathrm {F} }{dy}},$ $x_{i}$ et $y_{i}$ ont été remplacés par les fonctions périodiques $\varphi _{i}(t)$ et $\varphi _{i}'(t).$

Et, en effet, la valeur constante de la fonction $\mathrm {F}$ doit être la même pour la solution périodique

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}$

et pour la solution infiniment voisine

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}'.\end{aligned}}$

Cette relation est une équation linéaire entre les constantes

$\mathrm {A} _{k},\quad \mathrm {B} _{k},\quad \mathrm {C} ,\quad \mathrm {D}$

et les coefficients doivent être indépendants de $t.$

Il résulte de là que $\mathrm {A} _{k}$ et $\mathrm {B} _{k}$ ne doivent pas figurer dans la relation, puisque ces constantes sont toujours multipliées par $e^{\pm \alpha _{k}t}$ et que cette exponentielle ne pourrait disparaître.

De plus, $\mathrm {C}$ n’y figure pas non plus puisque la solution

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}}{dt}},&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+\mathrm {C} {\frac {d\varphi _{i}'}{dt}},\end{aligned}}$