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CHAPITRE XXII.

théorème de Stokes en une intégrale double étendue à une variété non fermée à deux dimensions, c’est-à-dire à une surface non fermée ; on a

(2)

Mais l’intégrale du second membre de (2) doit être un invariant intégral absolu et non seulement par rapport aux variétés fermées.

Nous conclurons donc ceci :

Pour que (1) soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées, il faut et il suffit que les binômes

soient tous indépendants de

De même et plus généralement soit

(3)

une expression intégrale d’ordre de même forme d’ailleurs que celles qui ont été envisagées dans les numéros précédents ; nous voulons savoir si c’est un invariant intégral par rapport aux variétés fermées d’ordre

Nous supposons cette intégrale étendue à une variété fermée quelconque d’ordre un théorème analogue à celui de Stokes nous apprendra alors qu’elle peut être transformée en une intégrale d’ordre étendue à une variété quelconque, fermée ou non, d’ordre L’intégrale transformée s’écrit

(4)

On prend toujours le signe si est pair et alternativement le signe et le signe si est impair. [Je renverrai pour plus de détails à mon Mémoire sur les résidus des intégrales doubles (Acta Mathematica, tome viii), et à mon Mémoire du Cahier du Centenaire du Journal de l’École Polytechnique.]

La condition nécessaire et suffisante pour que (3) soit un inva-