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CHAPITRE XXVIII.

Soient $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{n}$ ces $n$ exposants et soit

$\varphi (\alpha )=\left(1-e^{k\alpha \mathrm {T} }\right)\,;$

le jacobien sera égal au produit

$\varphi (\alpha _{1})\,\varphi (\alpha _{2})\ldots \,\varphi (_{n}).$

Pour $\lambda =0,$ le jacobien s’annule ainsi que ses mineurs des $p-1$ premiers ordres ; il en résulte que $p$ des exposants sont multiples de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$ Donc, $p$ des facteurs $\varphi (\alpha )$ s’annulent pour $\lambda =0$ et sont, par conséquent, divisibles par $\lambda .$ Le produit, c’est-à-dire le jacobien sera donc divisible par $\lambda ^{p}.$

Nous supposerons que pour $\lambda =0,$ aucun des ${\frac {d\alpha }{d\lambda }}$ ne s’annule ; c’est ce que nous avions déjà supposé plus haut. Dans ces conditions aucun des $\varphi (\alpha )$ n’est divisible par $\lambda ^{2}.$ Donc le produit n’est pas divisible par $\lambda ^{p+1}.$

Ainsi, le jacobien est divisible par $\lambda ^{p},$ mais pas par $\lambda ^{p+1}.$

Il résulte de là que le déterminant des $\theta _{i}^{1}$ est différent de zéro, et par conséquent qu’aucun des $\theta _{i}^{1}$ ne s’annule identiquement.

Le cas le plus simple est celui où, pour $\lambda =0,$ les termes du deuxième degré ne disparaissent pas dans les $\Theta _{i}$ et où ces termes du deuxième degré ne peuvent pas s’annuler à la fois, à moins que tous les $\beta ''$ ne s’annulent à la fois.

Soit alors $\eta _{i}$ l’ensemble des termes du deuxième degré de $\Theta _{i}$ pour $\lambda =0.$

Il suffira alors d’envisager les équations algébriques

$\eta _{i}+\lambda \theta _{i}^{1}=0,$

dont les premiers membres sont des polynômes homogènes du deuxième degré par rapport à $\lambda$ et aux $\beta ''.$

Si ces équations admettent des solutions réelles, nous aurons des solutions périodiques du deuxième genre.

Je ne développerai pas la discussion dans les autres cas, me réservant de la faire complètement en ce qui concerne les équations de la Dynamique.