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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

toutefois que les mineurs du $p$^ième ordre ne sont pas tous nuls à la fois.

Dans ces conditions, d’après le n^o 57, il y aura non pas un, mais $p$ exposants caractéristiques qui seront multiples de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$

De $n-p$ des équations (3), on pourra alors tirer $n-p$ des quantités $\beta$ sous la forme de séries développées suivant les puissances de $\lambda$ et des $p$ dernières quantités $\beta .$

Pour abréger le langage, je dirai les $\beta '$ pour désigner les $n-p$ premières quantités $\beta ,$ et les $\beta ''$ pour désigner les $p$ dernières quantités $\beta .$ Nous aurons donc les $\beta '$ développées suivant les puissances de $\lambda$ et des $\beta ''.$

Substituons ces développements à la place des $\beta '$ dans les $p$ dernières équations (3), nous obtiendrons $p$ équations

(5)

$\Theta _{1}=\Theta _{2}=\ldots =\Theta _{p}=0,$

dont les premiers membres seront développables suivant les puissances de $\lambda$ et des $\beta ''.$

Le jacobien et ses mineurs des $p-1$ premiers ordres étant nuls, ces premiers membres ne contiendront pas de termes du premier degré en $\beta ''$ indépendants de $\lambda .$ Il faut voir maintenant si les premiers membres des équations (5) contiendront des termes du premier degré par rapport aux $\beta ''$ et en même temps du premier degré par rapport à $\lambda .$

Soit $\theta _{i}$ l’ensemble des termes de $\Theta _{i}$ qui sont du premier degré par rapport aux $\beta ''\,;$ il est clair que $\theta _{i}$ pourra se développer suivant les puissances de $\lambda \,;$ soit

$\theta _{i}=\theta _{i}^{0}+\lambda \theta _{i}^{1}+\lambda ^{2}\theta _{i}^{(2)}+\ldots$

ce développement ; les $\theta _{i}^{(k)}$ seront des polynômes homogènes du premier degré par rapport aux $\beta ''.$

D’après ce qui précède, $\theta _{i}^{0}$ sera identiquement nul ; mais il faut voir s’il n’en est pas de même de $\theta _{i}^{1}.$

Le jacobien des $\psi$ par rapport aux $\beta$ est égal à

$\prod \left(1-e^{k\alpha \mathrm {T} }\right),$

le produit indiqué par le signe $\textstyle \prod$ s’étendant à $n$ facteurs correspondant aux $n$ exposants caractéristiques $\alpha .$