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INVARIANTS INTÉGRAUX.
Reprenons de même, comme dans le numéro précédent,
l’expression
(4)
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les
et les
étant des fonctions des ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Après le changement de variables, cette expression deviendra
![{\displaystyle \int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}'\,dx_{i}'^{2}+2\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i,k}'\,dx_{i}'\,dx_{k}'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbf0635bd421aebfcddc59500f1f10ac2dd03e0)
j’ai posé, pour plus de symétrie dans les notations,
![{\displaystyle x_{i}'=y_{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1)\,;\qquad x_{n}'=z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6a7dac79d38e5698c95bc0cc140db65b505725)
Pour que l’expression (4) soit un invariant intégral, il faut et
il suffit que tous les
et les
soient indépendants de
et ne
dépendent que de
Invariants relatifs.
238.Nous sommes conduits maintenant à chercher à former
les invariants intégraux relatifs aux variétés fermées. Supposons
d’abord
et cherchons quelle est la condition pour que l’intégrale simple
(1)
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soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées.
Faisons le changement de variables indiqué plus haut, notre
intégrale deviendra
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {B} _{1}\,dy_{1}+\mathrm {B} _{2}\,dy_{2}+\ldots +\mathrm {B} _{n-1}\,dy_{n-1}+\mathrm {B} _{n}\,dz\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c072151ef0cccd1315477f1ca47352bebf88fb80)
ce que je puis encore écrire, en reprenant la notation plus symétrique
de la fin du numéro précédent,
(1 bis)
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Cette intégrale simple, étendue à une variété fermée à une dimension,
c’est-à-dire à une ligne fermée, peut être transformée par le