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CHAPITRE XXII.
Considérons alors les équations
(1)
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où sont des fonctions données de
si l’on savait les intégrer, on connaîtrait en fonctions
de et de leurs valeurs initiales Nous pouvons,
pour conserver le même langage, appeler point le système de
valeurs et point le système de valeurs
Considérons un ensemble de points formant une variété
et l’ensemble des points correspondants formant une autre
variété [1].
Nous supposerons que et sont des variétés continues à
dimensions où
Considérons alors une intégrale d’ordre
(2)
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où est une fonction de et où est le produit
de différentielles prises parmi les différentielles
Il peut se faire que cette intégrale ait même valeur pour les
deux variétés et Nous dirons alors que c’est un
invariant intégral.
Il peut arriver aussi que cette intégrale ait même valeur pour
les deux variétés et mais seulement à la condition que ces
deux variétés soient fermées. C’est alors un invariant intégral
par rapport aux variétés fermées.
On peut encore imaginer d’autres espèces d’invariants intégraux.
Supposons, par exemple, que et que et se
- ↑ Le mot variété est maintenant assez usité pour que je n’aie pas cru nécessaire
d’en rappeler la définition. On appelle ainsi tout ensemble continu de points
(ou de système de valeurs) : c’est ainsi que dans l’espace à trois dimensions, une
surface quelconque est une variété à deux dimensions et une ligne quelconque,
une variété à une dimension.