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STABILITÉ À LA POISSON.

de manière que l’intégrale des forces vives s’écrive

${\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\eta }{dt}}\right)^{2}\right]-\mathrm {V} =h$

et si la fonction $\mathrm {V}$ et la constante $h$ sont telles que les valeurs de $\xi$ et de $\eta$ restent limitées, il y aura stabilité à la Poisson.

Mais ce n’est pas tout, il en est encore de même dans un cas plus étendu.

Soient $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ les coordonnées de ${\frac {n}{3}}$ points matériels.

Soit $\mathrm {V}$ la fonction des forces dépendant de ces $n$ variables.

Soient $m_{1},\,m_{2},\,\ldots ,\,m_{n}$ les masses correspondantes, de telle façon que nous désignons indifféremment par $m_{1},$ $m_{2}$ ou par $m_{3}$ la masse du point matériel dont les coordonnées sont $x_{1},$ $x_{2}$ et $x_{3}.$

Les équations s’écriront

$m_{i}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}$

et l’intégrale des forces vives s’écrira

$\sum {\frac {m_{i}}{2}}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}=\mathrm {V} +h.$

Si la fonction $\mathrm {V}$ et la constante $h$ sont telles que, en vertu de cette égalité, les coordonnées $x_{i}$ soient limitées, il y aura stabilité à la Poisson.

En effet, ce qu’il s’agit de démontrer, c’est que l’invariant intégral

$\int dx_{1}'\,dx_{2}'\,\ldots \,dx_{n}'\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}\qquad \left(x_{i}'={\frac {dx_{i}}{dt}}\right)$

est fini quand l’intégration est étendue au domaine que j’ai appelé $\mathrm {V}$ et qui est défini par les inégalités

(1)

$\mathrm {V} +h-\varepsilon <\sum <{\frac {m_{i}}{2}}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}<\mathrm {V} +h+\varepsilon .$

Appelons $\mathrm {A}$ l’intégrale

$\int dx_{1}'\,dx_{2}'\,\ldots \,dx_{n}',$

étendue au domaine défini par l’inégalité

$\sum {\frac {m_{i}}{2}}x_{i}'^{2}<1.$