Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/173

161

STABILITÉ À LA POISSON.

(Les équations trop longues pour tenir sur une ligne ont été mises sur 2 lignes)

courbe $\mathrm {C} _{2}$ étant fermée, $\xi$ et $\eta$ sont limités ; l’intégrale ne peut donc devenir infinie que si $\xi '$ et $\eta '$ sont infinis. Mais, à cause des inégalités (5), $\xi '$ et $\eta '$ ne peuvent devenir infinis que si

$\mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})$

devient infini, ou, puisque $\xi$ et $\eta$ sont limités, si $\mathrm {V}$ devient infini.

Or $\mathrm {V}$ devient infini pour $r_{1}=0$ et pour $r_{2}=0.$ Mais, comme le point $m_{1}$ est extérieur à $\mathrm {C} _{2},$ nous n’avons qu’à examiner le cas de

$r_{2}=0.$

Évaluons donc la portion de l’intégrale qui est voisine du point $m_{2}.$ Si $r_{2}$ est très petit, $\xi ^{2}+\eta ^{2}$ est sensiblement égal à $(\mathrm {O} m_{2})^{2},$ le terme ${\frac {m_{1}}{r_{1}}}$ est aussi sensiblement constant ; de sorte que, si nous posons

$h+{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})+{\frac {m_{1}}{r_{1}}}=\mathrm {H} ,$

$\mathrm {H}$ pourra être regardée comme une constante.

Si alors nous posons

${\begin{aligned}(\xi -\mathrm {O} m_{2})&=r_{2}\cos \omega ,&\eta &=r_{2}\sin \omega \,;\\\xi '&=\rho \cos \varphi ,&\eta '&=\rho \sin \varphi ,\end{aligned}}$

les inégalités (5) deviendront

(5 bis)

$\mathrm {H} +\varepsilon >{\frac {\rho ^{2}}{2}}-{\frac {m_{2}}{r_{2}}}>\mathrm {H} -\varepsilon$

et l’intégrale (2) deviendra

(2 bis)

$\int \rho \,r_{2}\,d\rho \,dr_{2}\,d\omega \,d\varphi .$

Nous adjoindrons aux inégalités (5 bis) l’inégalité

$r_{2}<\alpha ,$

$\alpha$ étant très petit, puisque c’est la partie de l’intégrale voisine de $m_{2}$ qu’il s’agit d’évaluer et que l’autre partie est certainement finie.

Si nous intégrons d’abord par rapport à $\omega$ et à $\varphi ,$ l’intégrale (2 bis) deviendra

(2 ter)

$4\pi ^{2}\int \rho \,r_{2}\,d\rho \,dr_{2}.$