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CHAPITRE XXVI.

De ces trois époques, la première est négative, la dernière positive.

Notre molécule traversera donc $\mathrm {U} _{0}$ au moins une fois avant l’époque zéro et au moins une fois après cette époque.

Opérant ensuite sur $\mathrm {U} _{0}'$ comme sur $\mathrm {U} _{0},$ nous trouverons deux nombres $b$ et $\beta ,$ le premier négatif, le second positif et tels que les trois volumes

$\mathrm {U} _{b}',\quad \mathrm {U} _{0}',\quad \mathrm {U} _{\beta }'$

aient une partie commune. Soit $\mathrm {U} _{0}''$ cette partie commune.

Toute molécule qui sera dans $\mathrm {U} _{0}''$ à l’époque zéro sera dans $\mathrm {U} _{0}'$ aux trois époques

$-\alpha \tau ,\quad 0,\quad -a\tau ,$

et, par conséquent, dans $\mathrm {U} _{0}$ aux cinq époques

$-(\alpha +\beta )\tau ,\quad -\beta \tau ,\quad 0,\quad -b\tau ,\quad -(a+b)\tau .$

De ces époques les deux premières sont négatives, les deux dernières positives.

Toute molécule qui sera dans $\mathrm {U} _{0}''$ à l’époque 0, traversera $\mathrm {U} _{0}$ au moins deux fois avant l’époque zéro, et au moins deux fois après cette époque.

Et ainsi de suite.

On formerait $\mathrm {U} _{0}'''$ avec $\mathrm {U} _{0}'',$ $\mathrm {U} _{0}^{\mathrm {IV} }$ avec $\mathrm {U} _{0}''',$ et l’on verrait que toute molécule qui sera dans $\mathrm {U} _{0}^{(p)}$ à l’époque 0, traverse $\mathrm {U} _{0}$ au moins $p$ fois avant l’époque zéro et au moins $p$ fois après cette époque.

Mais $\mathrm {U} _{0}'$ fait partie de $\mathrm {U} _{0},$ $\mathrm {U} _{0}''$ de $\mathrm {U} _{0}',$ et ainsi de suite. Il y aura donc un ensemble de points $\mathrm {E}$ (comprenant au moins un point) et qui fera partie à la fois de tous les volumes $\mathrm {U} _{0}^{(p)}$ quel que soit $p.$

Toute molécule qui, à l’époque zéro, sera à l’intérieur de $\mathrm {E}$ sera donc également à l’intérieur de

$\mathrm {U} _{0},\quad \mathrm {U} _{0}',\quad \mathrm {U} _{0}'',\quad \ldots ,\quad \mathrm {U} _{0}^{(p)},\quad ad\;inf.$

puisque $\mathrm {E}$ fait partie de tous ces volumes.

Elle traversera donc $\mathrm {U} _{0}$ une infinité de fois avant l’époque 0, et une infinité de fois après cette époque.

Il existe donc des molécules qui traversent $\mathrm {U} _{0}$ une infinité de fois tant avant qu’après l’époque zéro. C. Q. F. D.