Supposons-les remplies.
Cela posé, considérons l’intégrale
Elle aura, comme nous l’apprend le théorème de Helmholtz, même valeur le long de la courbe et le long de la courbe
En d’autres termes, cette intégrale est un invariant intégral.
Définition des invariants intégraux.
235.Dans les exemples que je viens de citer on est facilement conduit, par la nature même de la question, à la considération des invariants intégraux.
Mais il est clair que l’on peut employer ces invariants en en généralisant la définition dans des cas beaucoup plus étendus où l’on ne pourrait plus leur attribuer une signification physique aussi simple.
Considérons des équations différentielles de la forme
| (1) |
étant des fonctions données de
Si l’on savait les intégrer on en tirerait en fonction de et de leurs valeurs initiales
Si nous regardons comme représentant le temps et comme représentant les coordonnées d’un point mobile dans l’espace, les équations (1) définiront les lois du mouvement de ce point mobile.
Les mêmes équations une fois intégrées nous feraient connaître la position du point au temps connaissant sa position initiale dont les coordonnées sont
Si l’on considère des points mobiles suivant la même loi et dont l’ensemble forme à l’origine des temps une figure l’ensemble de ces mêmes points formera à l’instant une autre figure qui sera une ligne, une surface ou un volume suivant que la figure sera elle-même une ligne, une surface ou un volume.
