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CHAPITRE XXV.
On trouverait de même
(1 bis)
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(2 bis)
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Multiplions (2 bis) par (1), (1 bis) par (2) et retranchons, il viendra
(16)
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Le premier membre est linéaire par rapport aux déterminants
de la forme
![{\displaystyle \eta _{i}\eta _{k}'-\eta _{k}\eta _{i}',\quad \eta _{i}\xi _{k}'-\eta _{k}'\xi _{i},\quad \xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4fe0a3d4a00d120d5e200278eb56d9ab6e66645)
Nous avons donc une intégrale des équations aux variations et
nous pourrons en déduire un nouvel invariant intégral bilinéaire.
Dans le cas du problème des trois corps, on a donc au
moins
et l’on peut être assuré que les conditions (15) sont
remplies.
283.En est-il encore de même dans le cas général ? Supposons
qu’elles ne le soient pas. Alors tous les coefficients que nous avons
appelés
doivent être nuls ainsi que tous les
à l’exception
de
Donc quand on donne aux
et aux
les valeurs qui correspondent
à la solution périodique envisagée, c’est-à-dire quand on fait
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2555db656cae999b29eda37e42dfdcd372080e3)
les coefficients des termes en
doivent s’annuler,
et il ne reste que les termes en
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}'&\left(\delta f_{k}\,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!f_{k}\right)\\&\left(\,\delta \Phi \,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!\Phi \,\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfa09e45add6d42835bbadfb0a6a402768bd229)
Notre invariant devrait donc s’annuler quand on aurait
![{\displaystyle \delta \Theta =\delta '\!\Theta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f638698667d5c49d9e1fe2caec7eada60fdbf01)