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CHAPITRE XXV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

On trouverait de même

(1 bis)

$\sum {\frac {y\eta '}{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi '=\mathrm {const.}$

(2 bis)

${\textstyle \sum }\,(2x\eta '+y\xi ')-3t\left(\sum {\frac {y\eta '}{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi '\right)=\mathrm {const.}$

Multiplions (2 bis) par (1), (1 bis) par (2) et retranchons, il viendra

(16)

$\left\{{\begin{aligned}\sum &\left({\frac {y\eta }{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi \right){\textstyle \sum }\,(2x\eta '+y\xi ')\\&-\sum \left({\frac {y\eta '}{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi '\right){\textstyle \sum }\,(2x\eta +y\xi )=\mathrm {const.} \end{aligned}}\right.$

Le premier membre est linéaire par rapport aux déterminants de la forme

$\eta _{i}\eta _{k}'-\eta _{k}\eta _{i}',\quad \eta _{i}\xi _{k}'-\eta _{k}'\xi _{i},\quad \xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'.$

Nous avons donc une intégrale des équations aux variations et nous pourrons en déduire un nouvel invariant intégral bilinéaire.

Dans le cas du problème des trois corps, on a donc au moins $q=1,$ et l’on peut être assuré que les conditions (15) sont remplies.

283.En est-il encore de même dans le cas général ? Supposons qu’elles ne le soient pas. Alors tous les coefficients que nous avons appelés $\mathrm {B} _{i}$ doivent être nuls ainsi que tous les $\mathrm {E} _{k},$ à l’exception de $\mathrm {E} _{0}.$

Donc quand on donne aux $x_{i}$ et aux $y_{i}$ les valeurs qui correspondent à la solution périodique envisagée, c’est-à-dire quand on fait

$\mathrm {C} =\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,$

les coefficients des termes en $\delta f_{k}\,\delta '\!f_{k}'-\delta f'_{k}\,\delta '\!f_{k}$ doivent s’annuler, et il ne reste que les termes en

${\begin{aligned}f_{k}'&\left(\delta f_{k}\,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!f_{k}\right)\\&\left(\,\delta \Phi \,\delta '\!\Theta -\delta \Theta \,\delta '\!\Phi \,\right).\end{aligned}}$

Notre invariant devrait donc s’annuler quand on aurait

$\delta \Theta =\delta '\!\Theta =0.$