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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

nous verrons que les termes des cinq sortes contiendront respectivement en facteur

(10)

$\left\{{\begin{aligned}&(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k}'-\delta \mathrm {A} _{k}'\,\delta '\!\mathrm {A} _{k})+t\left[\delta \alpha _{k}\,\delta '\!(\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta (\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}')\right],\\&\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{j}-\delta \mathrm {A} _{j}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k})\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'\,t\left[\mathrm {A} _{k}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\mathrm {A} _{j}-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta \mathrm {A} _{j})-\mathrm {A} _{j}(\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\mathrm {A} _{k}-\delta '\!\alpha _{j}\,\delta \mathrm {A} _{k})\right]\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}'\,t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k}),\\&\mathrm {A} _{k}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\mathrm {C} -\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {C} )+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,t(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\mathrm {C} -\delta '\!\alpha _{k}\,\delta \mathrm {C} ),\\&\mathrm {A} _{k}'(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\beta _{0}-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \beta _{0})+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,t(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\beta _{0}-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta \beta _{0})\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}'\,t(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{0})+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\,t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\alpha _{k}\,\delta \alpha _{0}),\\&(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!\beta _{0}-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta \beta _{0})+t(\delta \mathrm {C} \,\delta '\!\alpha _{0}-\delta '\!\mathrm {C} \,\delta \alpha _{0}).\end{aligned}}\right.$

On voit que le temps pourrait entrer au second degré.

Faisons d’abord disparaître les termes en $t^{2}\,;$ ils ne peuvent provenir que des termes de la deuxième sorte et de la quatrième sorte.

Je dis que le coefficient de

$t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k})$

doit s’annuler.

En effet, les accroissements virtuels des constantes étant arbitraires, nous pourrons supposer que tous les $\delta \alpha _{i}$ s’annulent à l’exception de $\delta \alpha _{k},$ et de même que tous les $\delta '\!\alpha _{i}$ s’annulent à l’exception de $\delta '\!\alpha _{j}.$

Tous les termes en $t^{2}$ s’annulent alors, à l’exception du terme en

$t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k}).$

Il y aurait exception s’il existait une relation entre les $n-1$ exposants $\alpha _{i}\,;$ on ne pourrait plus en effet supposer que tous les $\delta \alpha _{i}$ s’annulent sauf un, sans que ce dernier s’annule lui-même.

Maintenant il y a quatre termes de la seconde sorte qui donnent des termes en

$t^{2}(\delta \alpha _{k}\,\delta '\!\alpha _{j}-\delta \alpha _{j}\,\delta '\!\alpha _{k}).$

Je les écrirai pour abréger sous la forme

$\psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{3}\,;$

les $\psi$ sont développés suivant les puissances des $f_{i},$ $f_{i}'$ et de $\Phi .$ Je désigne par $\omega _{1}$ l’expression qui figure à la seconde ligne du