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CHAPITRE XXV.

Les $\mathrm {A}$ sont des constantes d’intégration, les $\varphi$ sont des fonctions périodiques de $y_{3}.$

Il est aisé de vérifier que l’expression

$\varphi _{i.1}\varphi _{k.2}-\varphi _{i.2}\varphi _{k.1}+\varphi _{i.3}\varphi _{k.4}-\varphi _{i.4}\varphi _{k.3}$

est nulle, sauf dans les deux cas suivants

$i=1,\quad k=2\,;\qquad i=3,\quad k=4.$

Dans ces deux cas, cette expression se réduit à une constante que je puis supposer égale à 1.

Posons maintenant

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi _{1.1}+y_{1}'\varphi _{2.1}+x_{2}'\varphi _{3.1}+y_{2}'\varphi _{4.1},\\y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1.2}+y_{1}'\varphi _{2.2}+x_{2}'\varphi _{3.2}+y_{2}'\varphi _{4.2},\\x_{2}&=x_{1}'\varphi _{1.3}+y_{1}'\varphi _{2.3}+x_{2}'\varphi _{3.3}+y_{2}'\varphi _{4.3},\\y_{2}&=x_{1}'\varphi _{1.4}+y_{1}'\varphi _{2.4}+x_{2}'\varphi _{3.4}+y_{2}'\varphi _{4.4}.\end{aligned}}$

On voit alors que

${\begin{aligned}x_{1}\,&dy_{1}-y_{1}\,dx_{1}+x_{2}\,dy_{2}-y_{2}\,dx_{2}\\&=x_{1}'\,dy_{1}'-y_{1}'\,dx_{1}'+x_{2}'\,dy_{2}'-y_{2}'\,dx_{2}'+\psi \,dy_{3},\end{aligned}}$

où $\psi$ est une forme quadratique homogène par rapport à $x_{1}',$ $y_{1}',$ $x_{2}',$ $y_{2}'$ dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $y_{3}.$

Si alors nous posons

${\begin{aligned}x_{3}&=x_{3}'-{\frac {\psi }{2}},&y_{3}&=y_{3}',\end{aligned}}$

l’expression

$x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}+x_{3}\,dy_{3}-x_{1}'\,dy_{1}'-x_{2}'\,dy_{2}'-x_{3}'\,dy_{3}'$

sera une différentielle exacte et la forme canonique des équations n’est pas altérée.

La forme de la fonction $\mathrm {F}$ n’est pas altérée, seulement $\mathrm {F} _{0}$ se réduit à

$h\,x_{3}'+\mathrm {A} \,x_{1}'y_{1}'+\mathrm {B} \,x_{2}'y_{2}',$

où $h,$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des constantes.

On poserait ensuite

${\begin{aligned}x_{1}'\,dy_{1}'&=u_{1},&\log {\frac {y_{1}'}{x_{1}'}}&=2v_{1},\\x_{2}'\,dy_{2}'&=u_{2},&\log {\frac {y_{2}'}{x_{2}'}}&=2v_{2},\end{aligned}}$