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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
cette fonction et il nous sera facile ensuite, par le procédé que
nous avons déjà appliqué tant de fois, de satisfaire à notre équation
par une fonction
périodique en
et
Ayant ainsi déterminé
et
en fonctions de
et
je pose
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}'&=x_{2}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{2}'}}+x_{3}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{2}'}},\\x_{3}'&=x_{2}\,{\frac {dy_{2}}{dy_{3}'}}+x_{3}\,{\frac {dy_{3}}{dy_{3}'}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18d5b51f300e7503b6e7e1f52a37a4d7bf8af75)
Il est clair que
![{\displaystyle x_{2}'\,dy_{2}'+x_{3}'\,dy_{3}'-x_{2}\,dx_{2}-x_{3}\,dy_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f80f24094a83a87c5852c6f1328a3fc2e7b449)
qui est nul, est une différentielle exacte et, par conséquent, que
la forme canonique des équations n’est pas altérée quand on prend
pour variables nouvelles
au lieu de
![{\displaystyle y_{2},\,y_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd92b083a8d57d332ceb7cc0487b3a7287f25d7)
La forme de la fonction
n’est pas non plus altérée, mais on
voit qu’on a identiquement
![{\displaystyle -n_{2}x_{2}'-n_{3}x_{3}'=h_{2}x_{2}+h_{3}x_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe72653c99badde91459e8a31df09d64a63856f)
ce qui montre que les coefficients de
et de
se réduisent à
des constantes.
Je puis donc toujours supposer que
et
sont des constantes.
C’est ce que je ferai désormais.
Soit maintenant à intégrer les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1}),&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ea3a81edaa05912cce5dac17172f539f3cc06)
ou, ce qui revient au même,
(4)
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Cherchons à satisfaire à ces équations en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=e^{\alpha t}z,&y_{1}&=e^{\alpha t}s,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430c29640333b28691d54fcffca9d41b9f39e515)
étant une constante,
et
des fonctions périodiques de
et ![{\displaystyle y_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3766e8440eb174c6b3e3b7679b0988b5e01fead)