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CHAPITRE XXV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

sont des fonctions périodiques de $y_{2}$ et de $y_{3}$ (les $h_{i}^{0}$ se réduisant à des constantes comme nous l’avons vu) et enfin que les $y_{i}^{(k)}$ sont des fonctions périodiques de $y_{2}'$ et $y_{3}',$ sauf les $y_{i}^{0}$ qui se réduiront à $y_{i}'.$

Nous égalerons, dans les équations (2), les équations des puissances semblables de $\mu$ et nous aurons une suite d’équations qui nous permettront de déterminer par récurrence les $y_{i}^{(k)}$ et les $n_{i}^{(k)}.$

Ces équations s’écrivent

(3)

$\left\{{\begin{array}{c}{\begin{alignedat}{5}n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{3}'}}&=-h_{2}^{0},\\n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(1)}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(1)}}{dy_{3}'}}&+n_{2}^{(1)}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{(1)}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{3}'}}&={}\Phi ,\\n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(2)}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(2)}}{dy_{3}'}}&+n_{2}^{(2)}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{2}'}}&{}+{}&n_{3}^{(2)}\,{\frac {dy_{2}^{0}}{dy_{3}'}}&={}\Phi ,\\\end{alignedat}}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}\right.$

Je désigne par $\Phi$ toute fonction connue ; dans la deuxième équation, je regarde comme connus les $y_{i}^{0}$ et les $n_{i}^{0}\,;$ dans la troisième, les $y_{i}^{0}$, les $y_{i}^{(1)},$ les $n_{i}^{0}$ et les $n_{i}^{(1)}$ et ainsi de suite.

On a d’abord

${\begin{aligned}y_{2}^{0}&=y_{2}',&y_{3}^{0}&=y_{3}';&n_{2}^{0}&=-h_{2}^{0},&n_{3}^{0}&=-h_{3}^{0},\end{aligned}}$

de sorte que les équations (3) se réduisent à

(3 bis)

$\left\{{\begin{aligned}n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(1)}}{dy_{2}'}}+n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(1)}}{dy_{3}'}}+n_{2}^{(1)}&=\Phi ,\\n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(2)}}{dy_{2}'}}+n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{2}^{(2)}}{dy_{3}'}}+n_{2}^{(2)}&=\Phi ,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ..\end{aligned}}\right.$

auxquelles il faut adjoindre les équations

(3 ter)

$\left\{{\begin{aligned}n_{2}^{0}\,{\frac {dy_{3}^{(1)}}{dy_{2}'}}+n_{3}^{0}\,{\frac {dy_{3}^{(1)}}{dy_{3}'}}+n_{3}^{(1)}&=\Phi ,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ..\end{aligned}}\right.$

déduites de la seconde équation (2), comme les équations (3 bis) le sont de la première équation (2).

Toutes ces équations s’intégreront de la même manière ;soit par exemple la première équation (3 bis). La fonction $\Phi$ qui y entre (comme d’ailleurs toutes les autres fonctions $\Phi$) est périodique en $y_{2}'$ et $y_{3}'.$ Nous égalerons $n_{2}^{(1)}$ à la valeur moyenne de