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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

il viendra

${\begin{aligned}{\frac {dy_{2}}{dt}}=-1;\qquad {\frac {dx_{1}}{dt}}&=-{\frac {dx_{1}}{dy_{2}}}=2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1})\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {dy_{1}}{dy_{2}}}=-2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1})\end{aligned}}$

et une équation en ${\frac {dx_{2}}{dt}}$ que je puis remplacer par l’équation des forces vives

$x_{2}+\mathrm {A} x_{1}^{2}+2\mathrm {B} x_{1}y_{1}+\mathrm {C} y_{1}^{2}=\mathrm {const.}$

Les équations

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dy_{2}}}&=-2(\mathrm {B} x_{1}+\mathrm {C} y_{1}),&{\frac {dy_{1}}{dy_{2}}}&=2(\mathrm {A} x_{1}+\mathrm {B} y_{1})\end{aligned}}$

sont des équations linéaires à coefficients périodiques. En vertu du n^o 29 elles auront pour solution générale

${\begin{aligned}x_{1}&=w\varphi +w_{1}\psi &y_{1}&=w\varphi _{1}+w_{1}\psi _{1}\\w&=\alpha e^{ay_{2}},&w_{1}&=\beta e^{by_{2}},\end{aligned}}$

où $\varphi ,\,\psi ,\,\varphi _{1},\,\psi _{1}$ sont des fonctions périodiques de $y_{2}\,;$ $\alpha$ et $\beta$ des constantes d’intégration ; $a$ et $b$ des constantes.

Il est aisé de voir que $b=-a$ et que $\varphi \psi _{1}-\psi \varphi _{1}$ est une constante que je puis supposer égale à 1.

Cela posé, faisons un nouveau changement de variables en faisant

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'\varphi +y_{1}'\psi \,;&y_{1}&=x_{1}'\varphi _{1}+y_{1}'\psi _{1},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{2}&=x_{2}'+\mathrm {H} x_{1}'^{2}+2\mathrm {K} x_{1}'y_{1}'+\mathrm {L} y_{1}'^{2}\,;&y_{2}&=y_{2}',\end{aligned}}$

$\mathrm {H,\,K,\,L}$ étant des fonctions de $y_{2}$ choisies de manière que la forme canonique des équations ne soit pas altérée. Il suffit pour cela que

$x_{1}\,dy_{1}-x_{1}'\,dy_{1}'+x_{2}\,dy_{2}-x_{2}'\,dy_{2}'$

soit une différentielle exacte.

Or on voit que $x_{1}\,dy_{1}-x_{1}'\,dy_{1}'$ est égal à une différentielle exacte augmentée de

$-{\frac {dy_{2}}{\scriptstyle 2}}\left[x_{1}'^{2}(\varphi _{1}\varphi '-\varphi \varphi _{1}')+y_{1}'^{2}(\psi _{1}\psi '-\psi \psi _{1}')+2x_{1}'y_{1}'(\varphi _{1}\psi '-\varphi \psi _{1}')\right];$

$\varphi ',\,\varphi _{1}',\,\ldots \,$ désignent les dérivées de $\varphi ,$ $\varphi _{1},\,\ldots \,$ par rapport à $y_{2}.$