Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/95

81

APPLICATION AUX ORBITES.

s$'_{p}$ étant une fonction périodique de valeur moyenne nulle et $s''_{p}$ étant indépendant de $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2}.$

Nous pourrons écrire alors

(5)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\mathrm {S} &{\frac {d\mathrm {R} ^{\star }}{d\mathrm {V} _{i}^{0}}}{\frac {ds''_{p-1}}{dv_{i}}}&&=\psi _{p},\\\mathrm {S} &{\frac {d\mathrm {F} _{0}^{\star }}{d\Lambda _{0}}}{\frac {ds'_{p}}{d\lambda _{2}}}&&=\theta _{p}\,;\end{alignedat}}\right.$

$\psi _{p}$ doit dépendre de

${\begin{array}{rrrrr}s_{0},&s'_{1},&s'_{2},&\ldots ,&s'_{p-2},\\&s''_{1},&s''_{2},&\ldots ,&s''_{p-2},\end{array}}$

et $\theta _{p}$ de

${\begin{array}{rrrrr}s_{0},&s'_{1},&s'_{2},&\ldots ,&s'_{p-1},\\&s''_{1},&s''_{2},&\ldots ,&s''_{p-2}.\end{array}}$

La lettre $\mathrm {S}$ représente une sommation portant, soit sur les diverses paires de variables conjuguées $\mathrm {V} _{i}$ et $v_{i},$, soit sur les deux paires de variables conjuguées $\Lambda$ et $\lambda _{2},$, $\Lambda '$ et $\lambda '_{2}.$

Les deux membres des relations (5) sont développables suivant les puissances croissantes de $\varepsilon \,;$ mais les premiers membres ne contiennent que des puissances positives, tandis que les seconds membres contiennent dès puissances négatives. Avant qu’on ait remplacé, dans $\psi _{p}$ et $\theta _{p},$ les dérivées de $s'_{q}$ et de $s''_{q}\;(q<p)$ calculées antérieurement par récurrence, les développements de ces deux fonctions contenaient déjà des termes en ${\frac {1}{\varepsilon }},$ parce que le développement de $\mathrm {F} ^{\star }$ en contient, comme nous l’avons vu plus haut. Il en résulte que le développement de $s_{p},$ suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ doit commencer par une puissance négative de $\varepsilon .$ Si donc, dans $\psi _{p}$ et $\theta _{p},$ on remplace les dérivées des $s'_{q}$ et $s''_{q}$ par leurs développements, suivant les puissances de $\varepsilon ,$ antérieurement calculés, alors $\psi _{p}$ et $\theta _{p}$ seront encore développés suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ mais le développement, au lieu de commencer par un terme en ${\frac {1}{\varepsilon }},$ commencera par un terme en ${\frac {1}{\varepsilon ^{n}}},$ $n$ étant un entier positif.

L’exposant de ${\frac {1}{\varepsilon }},$ dans le premier terme du développement de $s_{p},$ ira donc en croissant avec $p.$