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CHAPITRE XII.

La valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}(\mathrm {S} )$ est par définition $\mathrm {R} (\mathrm {S} )\,;$ quand on y remplacera $\mathrm {S}$ par $\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s,$ cette valeur moyenne ne changera pas et s’écrira $\mathrm {R} (\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s).$ Cela tient à ce que

${\frac {d\Sigma _{0}}{d\lambda _{2}}},\quad {\frac {d\Sigma _{0}}{d\lambda '_{2}}},\quad {\frac {d\Sigma _{0}}{dv_{i}}},$

se réduisent respectivement à

$\Lambda _{0},\quad \Lambda '_{0},\quad 0,$

et ne dépendent pas de $\lambda _{2}$ et de $\lambda '_{2}\,;$ si, au contraire, ces dérivées dépendaient périodiquement de $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2},$ la valeur moyenne pourrait être modifiée par la substitution.

D’autre part, la valeur moyenne

$\left[\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0)\right]=\varepsilon ^{2}\mathrm {H}$

ne dépend ni des $v_{i},$ ni des ${\frac {ds}{dv_{i}}},$ puisque $\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)$ n’en dépendait pas lui-même ; elle est d’ailleurs développable suivant les puissances positives et croissantes de $\varepsilon ^{2}.$

De même, $\mathrm {R} (\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)$ est développable suivant les puissances positives et croissantes de $\varepsilon ^{2},$ parce que le développement primitif de $\mathrm {R}$ suivant les puissances des ${\sqrt {\rho _{i}}}$ (contrairement à ce qui se passait pour celui de $\mathrm {F} _{1}$) ne contenait pas de termes de degré impair et en particulier de termes du premier degré. Il vient donc

$\varepsilon ^{2}\mathrm {R} ^{\star }=\mathrm {R} (\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {R} (\Sigma _{0})+\varepsilon ^{2}\mathrm {H} ,$

de sorte que $\mathrm {R} ^{\star }$ est développable suivant les puissances positives et croissantes de $\varepsilon ^{2}.$

Si donc nous développons $s$ suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ ainsi qu’il suit

$s=s_{0}+\mu s_{1}+\mu ^{2}s_{2}+\ldots$

nous aurons, pour déterminer les $s_{p},$ des formules de récurrence que les méthodes des Chapitres précédents nous ont fournies.

Comme $s_{p}(p>0)$ est une fonction périodique de $\lambda _{2}$ et de $\lambda '_{2},$ j’écrirai

$s_{p}=s'_{p}+s''_{p},$