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CHAPITRE XII.

Le premier membre de (3) sera développable suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ je dis de $\varepsilon$ et non de $\varepsilon ^{2}\,;$ en effet, $\mathrm {F}$ contient des termes de degré impair par rapport aux ${\sqrt {\rho _{i}}}.$ Or les $\rho _{i}$ qui sont liés aux

$\mathrm {V} _{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{i}}}=\varepsilon ^{2}{\frac {ds}{dv_{i}}},$

par les relations

${\begin{aligned}\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},&\mathrm {V} _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}}\end{aligned}}$

trouvées aux n^os 138 et 141, sont développables suivant les puissances de $\mathrm {V} _{i},$ et, par conséquent, de $\varepsilon ^{2}.$ Donc les ${\sqrt {\rho _{i}}},$ et par conséquent $\mathrm {F} ,$ seront développables suivant les puissances de $\varepsilon .$ J’observe de plus que, si $\varepsilon$ est de l’ordre des excentricités, $s$ sera fini.

En effet, quand $\varepsilon$ s’annule, $\mathrm {S}$ se réduit à $\Sigma .$ Or cette solution particulière $\Sigma$ correspond, comme nous l’avons vu, au cas où les $\mathrm {V} _{i}^{0}$ sont nuls. Dans les applications, les $\mathrm {V} _{i}^{0}$ ne sont pas nuls, mais sont des quantités très petites de l’ordre du carré des excentricités. La différence $\mathrm {S} -\Sigma$ sera donc de l’ordre du carré des excentricités, c’est-à-dire de l’ordre de $\varepsilon ^{2}.$

Faisons, pour abréger,

$\mathrm {F} (\Sigma +\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} (\Sigma )=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ^{\star }(s),$

il viendra en retranchant (2) de (3)

(4)

$\mathrm {F} ^{\star }(s)=\mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ étant une nouvelle constante égale à ${\frac {\mathrm {C} -\mathrm {C} '}{\varepsilon ^{2}}}\cdot$

$\mathrm {F} ^{\star }$ sera développable suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ de sorte que

$\mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {F} _{0}^{\star }+\mu \mathrm {F} _{1}^{\star }+\mu ^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }+\ldots ,$

$\mathrm {F} ^{\star }$ sera d’ailleurs périodique en $\lambda _{2}$ et en $\lambda '_{2},$ et j’appellerai $\mathrm {R} ^{\star }$ la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}^{\star }.$

Comme Σ est développable suivant les puissances de $\mu ,$ de sorte que

$\Sigma =\Sigma _{0}+\mu \Sigma _{1}+\mu ^{2}\Sigma _{2}+\ldots ,$