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CHAPITRE XII.
Le premier membre de (3) sera développable suivant les puissances
de
je dis de
et non de
en effet,
contient des
termes de degré impair par rapport aux
Or les
qui sont
liés aux
![{\displaystyle \mathrm {V} _{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{i}}}=\varepsilon ^{2}{\frac {ds}{dv_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544976279cd037ff868adc2a6698d9c8e453ff93)
par les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},&\mathrm {V} _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b803ea9ed14bae20d875ce2fb48caceed81344d)
trouvées aux nos 138 et 141, sont développables suivant les puissances
de
et, par conséquent, de
Donc les
et par
conséquent
seront développables suivant les puissances de
J’observe de plus que, si
est de l’ordre des excentricités,
sera fini.
En effet, quand
s’annule,
se réduit à
Or cette solution
particulière
correspond, comme nous l’avons vu, au cas où les
sont nuls. Dans les applications, les
ne sont pas nuls, mais
sont des quantités très petites de l’ordre du carré des excentricités.
La différence
sera donc de l’ordre du carré des excentricités,
c’est-à-dire de l’ordre de
Faisons, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {F} (\Sigma +\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} (\Sigma )=\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ^{\star }(s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737d696d95136030d6fc6ac416ad738bc0eed0de)
il viendra en retranchant (2) de (3)
(4)
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étant une nouvelle constante égale à ![{\displaystyle {\frac {\mathrm {C} -\mathrm {C} '}{\varepsilon ^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5473a091af7596c6d0cee13245eba43ca63c71)
sera développable suivant les puissances croissantes de
de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {F} _{0}^{\star }+\mu \mathrm {F} _{1}^{\star }+\mu ^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09edc85551fb616a0303273aa036f1792b974f3)
sera d’ailleurs périodique en
et en
et j’appellerai
la
valeur moyenne de ![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}^{\star }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5536142ca64f3e6b75a5a96b1658e60e23c29ab)
Comme Σ est développable suivant les puissances de
de sorte que
![{\displaystyle \Sigma =\Sigma _{0}+\mu \Sigma _{1}+\mu ^{2}\Sigma _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a66ea7bd20d51598b9c3e64f9c1a547e30dc636)