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CHAPITRE XI.

Elle n’est plus susceptible d’être intégrée par le procédé que nous avons employé au n^o 138 ; on ne connaît même pas de moyen de l’intégrer exactement, mais on peut trouver une méthode simple d’intégration formelle, ce qui peut nous suffire au point de vue où nous nous sommes placé.

Les quantités

${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}=\rho _{i}$

sont de l’ordre du carré des excentricités ; si donc nous posons

$\mathrm {T} =\mu '\,\mathrm {T} ''$

$\mu '$ étant une constante de l’ordre du carré des excentricités, les dérivées ${\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}$ seront finies.

La fonction $\mathrm {R}$ est développable suivant les puissances croissantes des ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}$ et nous avons

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{4}+\ldots ,$

$\mathrm {R} _{k}$ représentant l’ensemble des termes de degré ${\frac {k}{2}}$ par rapport aux $\rho _{i}$ ($\mathrm {R} _{0},$ $\mathrm {R} _{2},$ $\mathrm {R} _{4},\,\ldots$ ne diffèrent pas des quantités appelées ainsi au n^o 131). Si je désigne par $\mathrm {R} _{k}(\mathrm {T} )$ ce que devient $\mathrm {R} _{k}$ quand on y remplace $\rho _{i}$ par ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},$ l’équation (1) pourra s’écrire

$\mathrm {R} _{0}(\mathrm {T} )+\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} )+\mathrm {R} _{4}(\mathrm {T} )+\ldots =\mathrm {C}$

ou bien

$\mathrm {R} _{0}(\mathrm {T} '')+\mu '\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} '')+{\mu '}^{2}\mathrm {R} _{4}(\mathrm {T} '')+\ldots =\mathrm {C}$

$\mathrm {R} _{0}$ ne dépend que de $\Lambda$ et de $\Lambda '$ et, comme nous regardons momentanément ces quantités comme des constantes, $\mathrm {R} _{0}$ sera aussi une constante.

Si alors nous posons

$\mathrm {C} =\mathrm {R} _{0}+\mu '\mathrm {C} '$

l’équation (1) deviendra

(2)

$\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} '')+\mu '\mathrm {R} _{4}(\mathrm {T} '')+{\mu '}^{2}\mathrm {R} _{6}(\mathrm {T} '')+\ldots =\mathrm {C} '.$

Nous sommes ainsi conduit à intégrer une équation aux dérivées partielles dont le premier membre dépend des dérivées ${\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}$ et est