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CHAPITRE XI.
relativement facile : c’est celui où l’on étudie le mouvement de
trois corps seulement se mouvant dans un même plan.
Dans ce cas en effet, le nombre des quantités
se réduit à 2, de
sorte que, si l’on regarde
et
comme des constantes,
ne
dépend plus que de quatre variables
et
mais il y a
plus : nous avons vu plus haut que
ne dépendait que des différences
Donc
ne dépendra que des
trois variables
et
de sorte que l’équation (1) s’écrira
![{\displaystyle \mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}},{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}},\omega _{1}-\omega _{2}\right)=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143674f8222ca2b1f2203984bc9090bf567bde89)
Si nous posons
et que nous prenions pour variables
nouvelles
et
l’équation devient
![{\displaystyle \mathrm {R} \left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \omega _{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi }},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi }},\,\varphi \right)=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf105099a7fc82432e89afa921df8b9b97c7a45d)
Si nous donnons alors à
une valeur constante arbitraire que
j’appellerai
l’équation ne contient plus que
et
On en tirera
donc
en fonction de
de la constante
et de
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi }}=f(\varphi ,\mathrm {C} ,h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe12e430ae1b74cbc3cb7185cdff91d68cc617f)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {T} =h\omega _{1}+\int f\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315e348dc839f432e62fd0a54a5b1b23780219d0)
Voyons quelle est la forme de cette fonction
J’observe que
est développable suivant les puissances de
et de
que le terme de degré 0 se réduit à une constante que
j’appellerai
et que les termes de degré 1 se réduisent à
![{\displaystyle 2\mathrm {A} _{1}{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6d8f5eaeeeebafa25a5da1e9c7044e96087e92)
Je poserai alors (en introduisant deux nouvelles constantes
d’intégration
et
à la place de
et de
)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} &=\mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\Omega _{1}+2\mathrm {A} _{2}\Omega _{2},\\h&=\Omega _{1}+\Omega _{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7099c503fba2b1f79eda2f24388fced44f510328)