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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

Cas des orbites planes.

138.Après ce changement de variables les équations du mouvement prennent la forme suivante.

Les deux séries de variables conjuguées sont

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}$

et l’on a

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ,$

$\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que de $\Lambda$ et de $\Lambda '\,;$ et $\mathrm {F} _{1},$ $\mathrm {F} _{2},$ $\ldots ,$ qui sont périodiques par rapport à $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}',$ sont développables suivant les puissances de

$\cos \omega _{i}{\sqrt {\rho _{i}}},\qquad \sin \omega _{i}{\sqrt {\rho _{i}}}.$

De plus, ces fonctions ne changent pas quand on augmente $\lambda _{1},$ $\lambda _{1}'$ et $\omega _{i}$ d’une même quantité ; elles ne dépendent donc que des différences,

$\lambda _{i}-\omega _{i},\quad \lambda '_{i}-\omega _{i},\quad \omega _{k}-\omega _{i}.$

Si dans $\mathrm {R}$ nous remplaçons $\rho _{i}$ par ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}$ et que nous égalions $\mathrm {R}$ à une constante, en regardant d’ailleurs $\Lambda$ et $\Lambda '$ comme des constantes données, nous obtiendrons une équation aux dérivées partielles

(1)

$\mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},\,\omega _{i}\right)=\mathrm {C} .$

D’après ce que nous avons vu aux n^os 134 et 135, il suffit de savoir intégrer cette équation pour pouvoir former des séries développées suivant les puissances croissantes de $\mu$ et satisfaisant formellement aux équations du mouvement,

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\Lambda }{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda _{1}}},&{\frac {d\Lambda '}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda '_{1}}},&{\frac {d\rho _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\omega _{i}}},\\{\frac {d\lambda _{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }},&{\frac {d\Lambda '_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda '}},&{\frac {d\omega _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\rho _{i}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Il est un cas particulier où l’intégration de l’équation (1) est