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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

De plus, la quantité $\mathrm {C} '_{1}$ qui doit être une constante ne pourra dépendre que des constantes d’intégration, c’est-à-dire des $\xi _{i},$ de sorte que $\mathrm {R}$ ne dépendra [en vertu de l’équation (1)] que de $\xi _{1},$ $\xi _{2},$ $\xi _{3}$ et $\xi _{4}.$

Nous sommes donc ramené au cas traité dans le paragraphe précédent, et nous devons conclure que les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\eta _{i}}},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\xi _{i}}}\end{aligned}}$

peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante

${\begin{alignedat}{5}\xi _{i}&=\xi _{i}^{0}&{}+{}&\mu \,\xi _{i}^{1}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}\xi _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu \,\eta _{i}^{1}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mu ^{p}\eta _{i}^{p}&{}+{}&\ldots ,\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i},&n_{i}&=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}n_{i}^{p}+\ldots ,\end{aligned}}$

où les $\xi _{i}^{0}$ sont des constantes, où les $\xi _{i}^{k}$ et les $\eta _{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques des $w,$ dépendant en outre des $n$ constantes d’intégration $\xi _{i}^{0}\,;$ où les $\varpi _{i}$ sont $n$ autres constantes d’intégration ; où enfin les quantités $\eta _{i}^{p}$ dépendent encore des constantes $\xi _{i}^{0}.$

Revenant aux variables primitives, on verra ensuite que les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

peuvent être satisfaites formellement par des séries de la forme suivante

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu \,x_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}x_{i}^{p}+\ldots ,\\y_{i}&=\varepsilon _{i}w_{i}+y_{i}^{0}+\mu \,x_{i}^{1}+\ldots +\mu ^{p}y_{i}^{p}+\ldots \,;\end{aligned}}$

les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ étant des fonctions périodiques des $w.$

Quant au coefficient $\varepsilon _{i},$ il peut être égal à 0 ou à 1. Il est toujours égal à 1 pour $i=$ 1 ou 2 ; il est égal à 1 ou à 0 pour $i=$ 3, selon que c’est $y_{3}-\eta _{3}$ ou $y_{3}$ qui est périodique par rapport aux $\eta _{i}$ et de même, il es égal à 1 ou 0 pour $i=$ 4, selon que c’est $y_{4}-\eta _{4}$ ou $y_{4}$ qui est périodique par rapport aux $\eta _{i}.$

Tout est donc ramené à l’intégration de l’équation aux dérivées partielles (1), ou, ce qui revient au même, à l’intégration des équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}}&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$