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APPLICATION À L'ÉTUDE DES VARIATIONS SÉCULAIRES.

croissantes d’un paramètre très petit. Nous ne pouvons plus pour cela nous servir de $\mu ,$ puisque tous les termes du second membre sont du même degré (de degré i), par rapport à $\mu \,;$ heureusement les quantités $\rho _{i}$ qui sont de l’ordre du carré des excentricités et des inclinaisons sont elles-mêmes très petites.

Nous n’avons donc, pour être ramené au cas traité dans le Chapitre précédent, qu’à poser

$\rho _{i}=\varepsilon \rho '_{i},$

$\varepsilon$étant une constante très petite, et les quantités $\rho '_{i}$ étant finies. Il vient alors

(2 bis)

${\begin{aligned}{\frac {d\rho '_{i}}{dt}}&=-{\frac {\mu }{\varepsilon }}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\omega _{i}}},&{\frac {d\omega _{i}}{dt}}&={\frac {\mu }{\varepsilon }}\,{\frac {d\mathrm {R} }{d\rho '_{i}}},\end{aligned}}$

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{4}+\ldots$

$\mathrm {R} _{2p}$ sera homogène et du degré $p$ par rapport aux $\rho _{i},$ de sorte que, quand on remplacera $\rho _{i}$ par $\varepsilon \rho '_{i},$ il viendra

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\varepsilon \mathrm {R} '_{2}+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} '_{4}+\ldots ,$

$\mathrm {R} '_{2p}$ s’obtenant en remplaçant $\rho _{i}$ par $\rho '_{i}$ dans $\mathrm {R} _{2p}.$

Nos équations deviennent alors, si l’on observe que $\mathrm {R} _{0}$ se réduit à une constante,

(3)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}{\frac {d\rho '_{i}}{dt}}&=-&&\mu \,{\frac {d\mathrm {R} '_{2}}{d\omega _{i}}}&&-\mu \varepsilon \,{\frac {d\mathrm {R} '_{4}}{d\omega _{i}}}&&-\mu \varepsilon ^{2}{\frac {d\mathrm {R} '_{6}}{d\omega _{i}}}-\ldots \\[0.5ex]{\frac {d\omega _{i}}{dt}}&=&&\mu \,{\frac {d\mathrm {R} '_{2}}{d\rho '_{i}}}&&+\mu \varepsilon \,{\frac {d\mathrm {R} '_{4}}{d\rho '_{i}}}&&+\mu \varepsilon ^{2}{\frac {d\mathrm {R} '_{6}}{d\rho '_{i}}}+\ldots \end{alignedat}}\right.$

On voit que les équations ont conservé la forme canonique ; la fonction $\mathrm {F}$ se réduit alors à

$\mu \left(\mathrm {R} '_{2}+\varepsilon \mathrm {R} '_{4}+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} '_{6}+\ldots \right).$

On voit qu’elle est développée suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ elle est périodique par rapport aux variables de la seconde série $\omega _{i}\,;$ enfin le premier terme $\mathrm {R} '_{2}$ ne dépend pas de ces variables $\omega _{i}.$ Nous nous trouvons donc dans les conditions où les résultats du Chapitre précédent sont applicables.

La seule hypothèse que nous devions faire, c’est qu’il n’y ait pas entre les quatre constantes $\mathrm {A} _{i},$ $\mathrm {A} _{2},$ $\mathrm {A} _{3},$ $\mathrm {A} _{4}$ de relation linéaire à