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CHAPITRE X.

Mais le développement de $\mathrm {R} _{2}^{\star }$ est bien connu ; $\mathrm {R} _{2}^{\star }$ n’est autre chose, en effet, que l’ensemble des termes séculaires de la fonction perturbatrice qui sont du deuxième degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Je puis en conclure deux choses :

1^o Que les équations linéaires (3) peuvent se déduire par un changement de variables très simple des équations (A) et (C) de la Mécanique céleste de Laplace (Livre II, Chap. VII, t. I^er, n^os 55 et 59, p. 321 et 334, édition de Gauthier-Villars, 1878) qui servent à calculer les variations séculaires des excentricités et des périhélies, des inclinaisons et des nœuds ;

2^o Que la fonction $\mathrm {R} _{2}$ est d’une forme particulière et peut s’écrire

$\mathrm {R} _{2}=\mathrm {R} '_{2}(\xi ,\xi ')+\mathrm {R} '_{2}(\eta ,\eta ')+\mathrm {R} _{2}''(p,p')+\mathrm {R} _{2}''(q,q').$

Elle est ainsi la somme de quatre formes quadratiques, la première dépendant seulement de $\xi$ et de $\xi ',$la seconde formée avec $\eta$ et $\eta '$ comme la première avec $\xi$ et $\xi ',$ la troisième dépendant seulement de $p$ et de $p',$ la quatrième formée avec $q$ et $q'$ comme la troisième avec $p$ et $p'.$

Cela posé, nous allons faire un changement linéaire de variables en nous arrangeant de façon à ne pas altérer la forme canonique des équations.

Posons pour cela

${\begin{alignedat}{6}\mathrm {V} =&+\xi (\sigma _{1}\cos \varphi &{}+{}&\sigma _{2}\sin \varphi )&{}+{}&\xi '(-\sigma _{1}\sin \varphi &{}+{}&\sigma _{2}\cos \varphi )\\&+p(\sigma _{3}\cos \varphi '&{}+{}&\sigma _{4}\sin \varphi ')&{}+{}&p'(-\sigma _{3}\sin \varphi '&{}+{}&\sigma _{4}\cos \varphi '),\end{alignedat}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant deux angles dépendant de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

Posons ensuite

${\begin{aligned}{\begin{aligned}\eta &={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}=\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi ,&\eta '&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi '}}=-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi ,\\q&={\frac {d\mathrm {V} }{dp}}=\sigma _{3}\cos \varphi '+\sigma _{4}\sin \varphi ',&q'&={\frac {d\mathrm {V} }{dp'}}=-\sigma _{3}\sin \varphi '+\sigma _{4}\cos \varphi '.\end{aligned}}\end{aligned}}$

J’ai ainsi des relations qui définiront les variables nouvelles $\sigma _{i}$ en fonctions des variables anciennes.

J’introduis encore quatre nouvelles variables $\tau _{1},$ $\tau _{2},$ $\tau _{3},$ $\tau 4,$ définies par les relations

$\tau _{i}={\frac {d\mathrm {V} }{d\sigma _{i}}},$