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APPLICATION À L'ÉTUDE DES VARIATIONS SÉCULAIRES.

tions canoniques

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} _{2}}{d\eta }},&{\frac {d\xi '}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} _{2}}{d\eta '}},&{\frac {dp}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} _{2}}{dq}},&{\frac {dp'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} _{2}}{dq'}},\\{\frac {d\eta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} _{2}}{d\xi }},&{\frac {d\eta '}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} _{2}}{d\xi '}},&{\frac {dq}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} _{2}}{dp}},&{\frac {dq'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} _{2}}{dp'}},\end{aligned}}\right.$

ces équations seront linéaires par rapport aux variables (2).

Supposons que, au lieu de développer $\mathrm {R}$ suivant les puissances des variables (2), nous développions suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons et qu’on obtienne ainsi le développement suivant

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}^{\star }+\mathrm {R} _{2}^{\star }+\mathrm {R} _{4}^{\star }+\ldots ,$

$\mathrm {R} _{k}^{\star }$ représentant l’ensemble des termes du degré $k$ par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

D’après ce que nous avons vu au n^o 12, les variables (2) sont développables suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons, de telle sorte qu’en arrêtant chacun de ces développements à son premier terme il vienne

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\xi &={\sqrt {\Lambda }}\,e\,\cos \varpi ,&\xi '&={\sqrt {\Lambda '}}\,e'\,\cos \varpi ',\\\eta &=-{\sqrt {\Lambda }}\,e\,\sin \varpi ,&\eta '&=-{\sqrt {\Lambda '}}\,e'\,\sin \varpi ',\\p&={\sqrt {\Lambda }}\,i\,\cos \theta ,&p'&={\sqrt {\Lambda '}}\,i'\,\cos \theta ',\\q&=-{\sqrt {\Lambda }}\,i\,\sin \theta ,&q'&=-{\sqrt {\Lambda '}}\,i'\,\sin \theta '\end{aligned}}\right.$

(j’ai posé pour abréger, comme au n^o 12, $\Lambda =\beta \,\mathrm {L} ,$ $\Lambda '=\beta '\mathrm {L} '$).

Il résulte de là que

$\mathrm {R} _{0}=\mathrm {R} _{0}^{\star }$

et que, pour obtenir $\mathrm {R} _{2}^{\star },$ il suffit de remplacer dans $\mathrm {R} _{2}$ les variables (2) par leur valeur approchée (4).

Inversement, on obtiendra $\mathrm {R} _{2},$ en remplaçant dans $\mathrm {R} _{2}^{\star }$ les quantités

$e\cos \varpi ,\quad e'\cos \varpi ',\quad e\sin \varpi ,\quad e'\sin \varpi ',\quad i\cos \theta ,\quad i'\cos \theta ',\quad i\sin \theta ,\quad i'\sin \theta '$

par

${\frac {\xi }{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {\xi '}{\sqrt {\Lambda '}}},\quad {\frac {-\eta }{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {-\eta '}{\sqrt {\Lambda '}}},\quad {\frac {p}{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {p'}{\sqrt {\Lambda '}}},\quad {\frac {-q}{\sqrt {\Lambda }}},\quad {\frac {-q'}{\sqrt {\Lambda '}}}\cdot$