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APPLICATION À L'ÉTUDE DES VARIATIONS SÉCULAIRES.

coefficients des termes séculaires de $x_{i}$ et de $y_{i},$ je veux dire les coefficients des termes dont la période croît indéfiniment quand les masses tendent vers 0 ? Il est évident que non ; mais l’approximation est généralement assez grande et les astronomes s’en sont, à juste titre, contentés jusqu’ici. De là l’intérêt qui s’attache à l’étude de ces équations (1 bis).

$\mathrm {F} _{0}$ et $\mathrm {R}$ ne dépendant pas de $l$ et de $l',$ il vient d’abord

${\frac {d(\beta \,\mathrm {L} )}{dt}}={\frac {d(\beta '\mathrm {L} ')}{dt}}=0,$

de sorte que $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} '$ peuvent être considérés comme des constantes. Nous pourrons donc nous contenter d’envisager les quatre paires de variables conjuguées,

${\begin{array}{cccc}\beta \,\mathrm {G} ,&\beta \Theta ,&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta ',\\g,&\theta ,&g',&\theta '\end{array}}$

(notations du n^o 11), que nous appellerons pour un instant

${\begin{array}{rrrr}x_{1},&x_{2},&x_{3},&x_{4},\\y_{1},&y_{2},&y_{3},&y_{4},\end{array}}$

Alors $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend d’aucune de ces huit variables et nos équations (1 bis) deviennent

(1 ter)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{\mu \,dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{\mu \,dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}}&(i=1,\,2,\,3,\,4).\end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {R}$ ne dépend que de nos huit variables $x_{i}$ et $y_{i},$ puisqu’elle est indépendante de $l$ et de $l'$ et que $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} '$ sont désormais regardées comme des constantes. Nos équations (1 ter) ont donc la forme canonique.

Quand $x_{i}$ et $y_{i}$ auront été déterminés par les équations (1 ter), on calculera $l$ et $l'$ par les équations

${\begin{aligned}{\frac {dt}{dt}}&=-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {dt'}{dt}}&=-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{\beta '\,d\mathrm {L} }},\end{aligned}}$

qui s’intégreront par de simples quadratures, puisque $l$ et $l'$ n’entrent pas dans le second membre.

Les fondateurs de la Mécanique céleste ont envisagé ces équa-