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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

Soit $\mathrm {S} '$ une fonction de $y1,\,y2,$ $\dots ,$ $y_{n}$ et de $n$ constantes $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{0},$ $\dots ,$ $x_{n}^{0},$ satisfaisant approximativement à l’équation (1), de telle sorte que l’on ait

\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}}},y_{i}\right)=\varphi (x_{i}^{0},y_{i})=\varphi _{0}(x_{i}^{0})+\varepsilon \varphi _{1}(x_{i}^{0},y_{i}),

$\varphi _{0}$ ne dépendant que des constantes $x_{i}^{0}$ et $\varepsilon$ étant très petit. Nous aurons alors une solution approximative des équations canoniques

(2)

{\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}

en faisant

(3)

{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} '}{dy_{i}}}&=x_{i},&{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{i}^{0}}}&=y_{i}^{0}=n_{i}t+\varpi _{i},&n_{i}&=-{\frac {d\varphi _{0}}{dx_{i}^{0}}},\end{aligned}}

et en regardant les $x_{i}^{0}$ et les $\varpi _{i}$ comme des constantes arbitraires.

Supposons maintenant qu’on veuille pousser plus loin l’approximation en appliquant la méthode de Lagrange ; on regardera alors les $x_{i}^{0}$ et les $\varpi _{i}$ non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles fonctions inconnues. Voici comment, d’après le théorème du n^o 4, nous devrons former nos nouvelles équations. Substituons à la place des $y_{i}$ leurs valeurs en fonction des $x_{i}^{0}$ et des $y_{i}^{0}$ tirées des équations (3) ; il viendra

\varphi (x_{i}^{0},y_{i})=\psi (x_{i}^{0},y_{i}^{0}),

et nous aurons les équations canoniques

(4)

{\begin{aligned}{\frac {dx_{i}^{0}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dy_{i}^{0}}},&{\frac {dy_{i}^{0}}{dt}}&=-{\frac {d\psi }{dx_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}

J’ai pris comme variables les $y_{i}^{0}$ au lieu des $\varpi _{i},$ ce qui revient au même, afin de mieux mettre en évidence la forme canonique des équations.

L’intégration des équations (4) peut être ramenée à celle de l’équation aux dérivées partielles

(5)

\psi \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}^{0}}},y_{i}^{0}\right)=\mathrm {const.}