Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/486

472

CHAPITRE XXI.

deviendront des fonctions de $x$ et de $y$ et l’expression

$\eta _{1}\,dx+\eta _{2}\,dy$

sera une différentielle exacte $d\mathrm {S} .$ Intégrons cette différentielle, nous obtiendrons une certaine fonction $\mathrm {S}$ jouissant des propriétés suivantes :

1^o Ses dérivées seront périodiques par rapport à $x.$

2^o Elle sera développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$

3^o Un terme quelconque de

${\frac {d\mathrm {S} }{dx}}=\eta _{1}$ ou de ${\frac {d\mathrm {S} }{dy}}=\eta _{2}$

se composera du cosinus ou du sinus d’un multiple de $x,$ multiplié par une puissance de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}},$ par une puissance de $\varepsilon ,$ et par un coefficient de la forme

${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},$

où $\mathrm {N}$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ de ${\sqrt {\mu }}$ et de $\beta ,$ et où $\Pi$ est un produit de facteurs de la forme

$m{\sqrt {-1}}+n\beta .$

4^o L’expression ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ est développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de ${\sqrt {\mu }}\,;$ il en est donc de même de $\mathrm {S} \,;$ seulement, tandis que le développement de $\mathrm {S}$ suivant les puissances de $\varepsilon$ est convergent, le développement suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ n’a de valeur qu’au point de vue formel.

Nous aurions pu opérer de même sur l’expression (17 bis) et nous aurions obtenu une fonction $\mathrm {S} '$ tout à fait analogue à la fonction $\mathrm {S} ,$ avec cette seule différence qu’au lieu d’être développée suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}},$ elle serait développée suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}\cdot$

J’ai dit que $\mathrm {S}$ (et $\mathrm {S} '$) est développable suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ soit donc

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon +\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots .$