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CHAPITRE XXI.

mière intégrale sera une fonction holomorphe de $q,$ mais il pourra n’en pas être de même de la seconde.

Étudions donc les singularités que peut présenter la seconde intégrale quand la partie imaginaire de $q$ est négative. Supposons que cette partie imaginaire soit plus grande que $-{\frac {n}{2}}\cdot$ Reprenons le développement

$\varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}e^{+{\frac {nu}{2}}}.$

Nous pourrons écrire

$\varphi =\mathrm {A} _{1}e^{+{\frac {u}{2}}}+\mathrm {A} _{2}e^{+u}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{+{\frac {nu}{2}}}+\mathrm {R} _{n}$

et, quand $u$ tendra vers $-\infty ,$ $\mathrm {R} _{n}\,e^{-{\frac {nu}{2}}}$ tendra vers zéro. La seconde intégrale peut s’écrire alors

$\mathrm {J} _{1}+\mathrm {J} _{2}+\ldots +\mathrm {J} _{n}+\mathrm {S} _{n},$

où

${\begin{aligned}\mathrm {J} _{\mathrm {K} }&=\mathrm {A} _{\mathrm {K} }\int _{-\infty }^{0}e^{\left({\frac {\mathrm {K} }{2}}-iq\right)u}\,du,&\mathrm {S} _{n}&=\int _{-\infty }^{0}e^{-iqu}\,du.\end{aligned}}$

L’intégrale $\mathrm {J} _{\mathrm {K} }$ n’a pas de sens par elle-même dès que la partie imaginaire de $q$ est plus petite que $-{\tfrac {\mathrm {K} }{2}}$ et l’on ne peut lui en attribuer un que par continuité analytique. On trouve alors

$\mathrm {J} _{\mathrm {K} }={\frac {\mathrm {A} _{\mathrm {K} }}{{\frac {\mathrm {K} }{2}}-iq}}\cdot$

Quant à $\mathrm {S} _{n},$ tant que la partie imaginaire de $q$ est plus grande que $-{\frac {n}{2}},$ c’est une fonction de $q$ qui ne présente aucune singularité, car la quantité sous le signe $\textstyle \int$ s’annule pour $u=\infty .$

On voit ainsi que la seconde intégrale est une fonction méromorphe de $q$ admettant pour pôles

$q=-i\,{\frac {\mathrm {K} }{2}}\quad (\mathrm {K}$ entier positif$)$

avec le résidu

$i\mathrm {A} _{\mathrm {K} }.$