Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/476

462

CHAPITRE XXI.

Les intégrales (11) et (12), prises le long de $\mathrm {C} ',$ nous donneront d’autres valeurs de $\psi$ et de $\mathrm {S} _{1}$ que je désignerai par $\psi '$ et $\mathrm {S} _{1}'$ pour les distinguer des premières.

Comme la partie imaginaire de $q$ est négative, si $u$ est réel, négatif et très grand, l’exponentielle $e^{iqu}$ aura son module très petit. Donc, pour $u=-\infty ,$ c’est-à-dire pour $y=0,$ $\psi '$ et $\mathrm {S} _{1}'$ s’annulent.

On peut se demander si $\psi$ est égal à $\psi '.$ On voit qu’entre les deux chemins d’intégration $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} ',$ la quantité sous le signe $\textstyle \int$ présente un point singulier qui est le point

$q=-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\cdot$

Ce point singulier est un pôle. La différence des deux intégrales sera donc égale à $2i\pi$ multiplié par le résidu ; ce qui donne

$\psi '-\psi =\pi {\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\,e^{\frac {-iu}{\sqrt {8\mu }}}\,\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right),$

et, en appelant $\rho _{0}$ et $\omega _{0}$ le module et l’argument de $\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right),$

$\mathrm {S} _{1}'-\mathrm {S} _{1}=\pi {\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\,\rho _{0}\cos \left(x-{\frac {u}{\sqrt {8\mu }}}+\omega _{0}\right).$

On voit que $\psi '$ n’est pas égal $\psi$ à moins que

$\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)=\theta (i\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}\,e^{\alpha u}\,du=0.$

Cherchons maintenant à développer $\psi$ et $\psi '$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ voici ce que nous obtiendrons ; soit

${\begin{aligned}\psi &={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\psi _{p},&\psi '&={\textstyle \sum }\,\mu ^{\frac {p}{2}}\psi _{p}',\end{aligned}}$

il viendra

$\psi _{p}$ et $\psi _{p}'=\int {\frac {e^{iqu}}{i}}\,\theta (q)\left(-q{\sqrt {8}}\right)^{p-2}dq,$

l’intégrale étant prise le long de $\mathrm {C}$ pour $\psi _{p}$ et le long de $\mathrm {C} '$ pour $\psi _{p}'.$

Mais, cette fois, la quantité sous le signe $\textstyle \int$ ne présente pas de