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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

La série $\mathrm {T} _{p}$ aurait été convergente ; en effet, si, comme je le suppose, la fonction $\varphi (y)$ est holomorphe pour toutes les valeurs réelles de $y,$ on aura

$\rho _{m}<kh_{0}^{|m|},$

$k$ et $h_{0}$ étant deux constantes positives $(h_{0}<1)\,;$ d’où il suit que la série

${\textstyle \sum }\,m^{p}\rho _{m}$

converge absolument, de même a fortiori que la série $\mathrm {T} _{p+2}.$

D' autre part, le développement (8) converge, mais il n’en est pas de même du développement (9).

Pour nous en rendre compte, il nous suffira d’envisager un exemple très particulier.

Faisons

$x={\frac {\pi }{2}},\quad u=0,\quad \omega _{m}=0,\quad \rho _{m}=\mathrm {A} ^{|m|},\quad 0<\mathrm {A} <1,\quad \lambda ={\frac {1}{\sqrt {8}}},$

il viendra

$\mathrm {T} _{p+2}={\textstyle \sum }\,(-m)^{p}\mathrm {A} ^{|m|}\quad (m\;$variant de$\;-\infty \;$à$\;+\infty ),$

ce qui montre que $\mathrm {T} _{p+2}$ est nul si $p$ est impair et égal à

$2\,{\textstyle \sum }\,m^{p}\mathrm {A} ^{m}\quad (m\;$variant de$\;1\;$à$\;+\infty ).$

Or nous avons évidemment

${\textstyle \sum }\,m^{p}\mathrm {A} ^{m}>{\textstyle \sum }\,m(m-1)\ldots (m-p+1)\mathrm {A} ^{m}={\frac {p!\,\mathrm {A} ^{p}}{\left(1-\mathrm {A} \right)^{p+1}}},$

d’où, pour $\mathrm {A} ={\tfrac {1}{2}}$ par exemple,

$\mathrm {T} _{p+2}>2(p!).$

Les termes du développement (9) sont alors nuls de deux en deux et ceux qui restent sont plus grands que les termes correspondants du développement

$2\,{\textstyle \sum }\,q!\,\mu ^{q+1},$

qui est manifestement divergent.

Ce que je viens de dire du développement de $\mathrm {S} _{1}$ s’appliquerait évidemment à celui de $5_{2}$ et des autres fonctions analogues.