Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/470

456

CHAPITRE XXI.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Considérons d’abord le cas ordinaire où $h>0\,;$ alors $\varphi (y)$ étant une fonction périodique de $y$ sera également une fonction périodique de $u,$ dont la période sera égale à la période réelle de l’intégrale elliptique de $u.$ Je pourrai donc écrire

$\varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}e^{im\lambda u},$

$\lambda$ étant une constante réelle dépendant de la période de l’intégrale $u$ et $m$ étant un entier.

On en déduit

$\psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}{\frac {e^{im\lambda u}}{\alpha +im\lambda }}$

ou

$\psi =\sum {\frac {\mu \,\mathrm {A} _{m}}{i}}{\frac {e^{im\lambda u}}{1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}}},$

et enfin, si $\rho _{m}$ et $\omega _{m}$ sont le module et l’argument de $\mathrm {A} _{m},$

(8)

$\mathrm {S} _{1}={\textstyle \sum }\,\mu \rho _{m}{\frac {\sin(m\lambda u+x+\omega _{m})}{1+m\lambda {\sqrt {8\mu }}}}\cdot$

On voit que chacun des termes de $\mathrm {S} _{1}$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$ On peut chercher à effectuer le développement puis à réunir en un seul tous les termes qui contiennent en facteur une même puissance de ${\sqrt {\mu }}\,;$ on obtiendra ainsi, au point de vue formel, le développement de $\mathrm {S} _{1}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ soit

(9)

$\mathrm {S} _{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{p}\mu ^{\frac {p}{2}}.$

On a

$\mathrm {T} _{p+2}=\left(-\lambda {\sqrt {8}}\right)^{p}{\textstyle \sum }\,m^{p}\rho _{m}\sin(m\lambda u+x+\omega _{m}).$

C’est au même résultat que l’on serait parvenu en appliquant la méthode de M. Bohlin. On aurait développé $\mathrm {S}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et l’on aurait trouvé

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}'{\sqrt {\mu }}+\mathrm {S} _{2}'\mu +\ldots +\mathrm {S} _{p}'\mu ^{\frac {p}{2}}+\ldots .$

La fonction $\mathrm {S} _{p}'$ aurait été à son tour développable suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ et le coefficient de $\varepsilon$ n’aurait été autre chose que $\mathrm {T} _{p}.$