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CHAPITRE XXI.

$\mathrm {S} _{1}$ est alors la partie réelle de la fonction $\Sigma$ définie par l’équation

(4 bis)

${\frac {d\Sigma }{dx}}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\Sigma }{dy}}=\mu \varphi (y)e^{ix}\,;$

nous l’obtiendrons en posant

$\Sigma =\psi e^{ix},$

d’où

(4 ter)

$i\psi +2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi }{dy}}=\mu \varphi .$

Pour intégrer cette équation linéaire, intégrons d’abord l’équation sans second membre qui peut s’écrire

$\alpha \psi +{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi }{dy}}=0,$

en posant

$\alpha ={\frac {i}{2{\sqrt {2\mu }}}},$

d’où

$\psi =\mathrm {K} e^{-\alpha {\displaystyle \int }{\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}},$

$\mathrm {K}$ étant une constante. Je poserai l’intégrale elliptique

$\int {\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}=u,$

d’où

$\psi =\mathrm {K} e^{-\alpha u}$

pour l’intégrale générale de l’équation sans second membre. Pour intégrer l’équation à second membre, je regarderai $\mathrm {K}$ comme une fonction de $y,$ ce qui donne

$2{\sqrt {2\mu }}\,{\frac {d\mathrm {K} }{dy}}\,e^{-\alpha u}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}=\mu \varphi ,$

d’où

$\mathrm {K} ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi {\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi \,du,$