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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

qui permettra facilement de déterminer $\mathrm {T} _{2},$ car $y_{1}$ n’y entre pas.

On ira ainsi jusqu’au terme en $\varepsilon ^{|m+m'|}.$ Posons $|m+m'|=q,$ il vient alors

$2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{q}}{dy_{1}}}+\mathrm {R} _{q}'+\mathrm {M} _{q}\cos y_{1}+\mathrm {N} _{q}\sin y_{1}=\gamma _{q},$

$\mathrm {M} _{q}$ et $\mathrm {N} _{q},$ dépendant des $\omega _{i}$ et de $\mathrm {V} _{0},$ $\mathrm {V} _{1},$ $\ldots ,\,\mathrm {V} _{q-3}$ qui sont des fonctions connues des $\omega _{i},$ pourront être regardés comme connus.

Quant à $\mathrm {R} _{q}',$ on aura

$\mathrm {R} _{q}'=2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}+\mathrm {L} _{q},$

$\mathrm {L} _{q}$ étant une fonction connue des $\omega _{i}.$

Nous pourrons alors décomposer l’équation précédente en deux et écrire

${\begin{aligned}2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{q}}{dy_{1}}}&=-\mathrm {M} _{q}\cos y_{1}-\mathrm {N} _{q}\sin y_{1},\\2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-2}}{d\omega _{i}}}&=\gamma _{q}-\mathrm {L} _{q}.\end{aligned}}$

Les seconds membres sont connus, de sorte que nous déduirons facilement de ces équations les valeurs de $\mathrm {U} _{q}$ et $\mathrm {V} _{q-2}.$ On voit que les dérivées de $\mathrm {V} _{q-2}$ sont périodiques par rapport à $\omega _{i}\,;$ nous pouvons même sans restreindre la généralité choisir $\gamma _{q}$ de façon à annuler la valeur moyenne de $\gamma _{q}-\mathrm {L} _{q}.$ Alors $\mathrm {V} _{q-2}$ est lui-même périodique. Quant à $\mathrm {U} _{q},$ on voit qu’il sera périodique par rapport à $y_{1}$ et aux $\omega _{i}.$

On continuera de la sorte. En égalant les coefficients de $\varepsilon ^{p}\;(p>q),$ on trouvera

(13)

$2\alpha \mathrm {A} \,{\frac {d\mathrm {U} _{p}}{dy_{1}}}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{p-2}}{d\omega _{i}}}=\gamma _{p}+\Phi ,$

$\Phi$ étant une fonction connue périodique par rapport à $y_{1}$ et aux $\omega _{i}\,;$ nous supposerons la fonction $\Phi$ développée en série trigonométrique et nous choisirons $\gamma _{p}$ de façon à annuler la valeur moyenne du second membre.

Nous poserons ensuite

$\gamma _{p}+\Phi =\Phi '+\Phi '',$

$\Phi '$ représentant l’ensemble des termes qui dépendent de $y_{1}$ et $\Phi ''$