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CHAPITRE IX.
Il est clair que nous pouvons choisir
de façon que le rapport
ait telle valeur que nous voulons.
C’est ce qui arrive également avec l’équation suivante, qui s’introduit
dans l’application des méthodes de M. Gyldén, et qui a fait
l’objet des études particulières de M. Lindstedt,
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où
est une fonction développée suivant les puissances de
et
périodique en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
J’observe d’abord que
peut toujours être regardée comme la
dérivée prise par rapport à
d’une fonction
de même forme. Je
puis alors comme nous l’avons vu au no 2, remplacer l’équation
précédente par les suivantes :
![{\displaystyle -\mathrm {F} ={\frac {q^{2}}{2}}+{\frac {n^{2}y^{2}}{2}}-\mu \,\varphi (y,x)+p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b82cf87819f5331d4c3ad8c07595aa8d9c40793)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}=1,&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}=q,&{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1483f2cda7bdaf6c34a18fdf28a9d1694d8207)
![{\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy}}=-n^{2}y+\mu \,\varphi '(y,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e787cacc212c749cb790e908188defbe8b33f1d8)
Posons ensuite
![{\displaystyle y=\rho \sin y_{1},\quad q=n\rho \cos y_{1},\quad {\frac {n\rho ^{2}}{2}}=x_{1},\quad p=x_{2},\quad x=y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a498411a54e3793aea0ca835e1196e2c6d9e055)
nos équations deviendront
![{\displaystyle -\mathrm {F} =nx_{1}+x_{2}-\mu \,\varphi \left({\sqrt {\frac {2x_{1}}{n}}}\sin y,\,y_{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df27ac9c6186937844d5c8b9bb7b60efad3bb91)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}},&{\frac {dx_{2}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}},&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee93c8e70382f3c7b7d38a22f026a51b1a04a0af)
La forme canonique des équations ne sera en effet pas altérée, en
vertu du no 6.
Ici nous avons, en faisant
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}=-nx_{1}-x_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf62f96857d79db3eba231c4a2badbf87727e98)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}^{0}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}=-n,&n_{2}^{0}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861a97e28ada2f58027906adad684261ee6d2437)