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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

Avec notre nouvelle notation, l’équation (8 bis) doit donc s’écrire

$\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {T} _{1}}{\partial u_{i}}}=\Phi .$

D’autre part, on a identiquement

$\theta =\Theta$

et, comme $\theta$ ne dépend que des $z_{i}^{0},$

${\frac {\partial \Theta }{\partial u_{i}}}=0.$

Cette équation peut encore s’écrire

${\frac {d\Theta }{du_{i}}}+\sum {\frac {d\Theta }{dz_{k}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=0.$

On a d’ailleurs

${\frac {\partial \mathrm {T} _{1}}{\partial u_{i}}}={\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\sum {\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{k}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=0.$

On trouve alors successivement en transformant (8 bis)

$\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{k}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=\Phi ,$

ou, par permutation d’indices,

$\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}+\sum {\frac {d\Theta }{dz_{k}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{i}}}{\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}=\Phi \,;$

car

${\frac {\partial z_{k}}{\partial u_{i}}}={\frac {\partial z_{i}}{\partial u_{k}}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {T} _{0}}{\partial u_{i}\,\partial u_{k}}},$

d’où

$\sum \left({\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}-{\frac {d\Theta }{du_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{i}}}\right)=\Phi .$

ou, en prenant pour variables les $u_{i}^{0}$ et les $z_{i}^{0},$

$\sum \left({\frac {d\Theta }{dz_{i}^{0}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}^{0}}}-{\frac {d\Theta }{du_{i}^{0}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dz_{i}^{0}}}\right)=\Phi .$

Comme $\Theta$ se réduit à $\theta$ qui ne dépend pas des $u_{i}^{0},$ il vient enfin

(8 ter)

$\sum {\frac {d\theta }{dz_{i}^{0}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}^{0}}}=\Phi .$