Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/440

426

CHAPITRE XX.

définie par la série

$1-x+x^{2}-\ldots ,$

continue à exister après que la série a cessé de converger.

Considérons donc la somme d’une de ces séries partielles. Cette somme sera d’abord périodique de période $2\pi$ en $w_{2},$ $w_{3},$ $\ldots ,\,w_{n}\,;$ de plus, ce sera une fonction d’un autre argument $\theta _{1}w_{1},$ uniforme pour les valeurs réelles de cet argument, et pour les valeurs dont la partie imaginaire est suffisamment petite ; ou, en d’autres termes, tant que l’argument $\theta _{1}w_{1}$ reste à l’intérieur d’un certain domaine comprenant l’axe des quantités réelles tout entier. Quand $\alpha _{1}$ varie entre certaines limites, cette fonction est, à l’intérieur de ce domaine, uniforme et doublement périodique ; l’une des périodes est réelle, l’autre imaginaire ; pour une certaine valeur de $\alpha _{1},$ l’une des périodes devient infinie ; puis la période réelle devient imaginaire et inversement.

C’est ainsi que s’effectue le passage du cas ordinaire à celui de la libration.