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CHAPITRE IX.
Les équations (13) se réduisent alors à
(14)
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Voyons comment on peut se servir des équations (14) pour
déterminer par récurrence les fonctions
![{\displaystyle x_{i}^{p}\quad \mathrm {et} \quad y_{i}^{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ee346fedd8314edcdd4d78b720b08d86001904)
de façon que ces fonctions soient périodiques par rapport aux
et que leurs valeurs moyennes soient telles fonctions que nous
voulons des ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
Nous avons vu dans les deux numéros précédents que cette
détermination est possible.
Supposons que l’on ait calculé
(15)
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et que l’on se propose de calculer à l’aide des équations (14)
et ![{\displaystyle y_{i}^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0596eda9415bdefa3281ba3645d86274d25fa5b2)
Comme
et
ne dépendent que des variables (15), le second
membre de la première équation (14) est une fonction connue
des
périodique par rapport à ces variables.
Soit
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}^{p}+\mathrm {Z} _{i}^{p}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f140650e50afefa5434b63bf125e65fcbe131c26)
cette fonction, nous en déduirons, en intégrant l’équation (14),
![{\displaystyle x_{i}^{p}=\sum {\frac {\mathrm {A} \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h)}{m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}}}+\mathrm {K} _{i}^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016d5c018fb003bb0c8876e4645e2f91539e8882)
Ainsi
est une fonction périodique des
il n’y aurait d’exception
que dans deux cas : si les
satisfaisaient à une relation linéaire
à coefficients entiers
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,m_{i}n_{i}^{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8ecba4ce4305a4687f404c38703e785fa0a789)
mais nous avons supposé le contraire ; ou bien si la fonction périodique
avait une valeur moyenne différente de 0. Il
n’est pas facile de démontrer directement qu’il n’en est pas ainsi,
mais comme nous savons d’avance que
doit être une fonction
périodique des
nous sommes certains que la valeur moyenne