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CHAPITRE XX.

Des équations

$w_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}}$

nous tirerons alors les $y_{i}$ en fonctions des $w_{i}$ et des $x_{i}^{0},$ ou, si l’on préfère, en fonctions des $w_{i}$ et des $n$ constantes d’intégration,

$n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.$

On voit d’après cela que le développement des $y$ ne contiendra que des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}}\quad (q\leqq 2p-1).$

Substituons ensuite les valeurs de $y$ ainsi obtenues dans les équations

(3)

$x_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}\cdot$

Avant la substitution, le second membre de (3) ne contient que des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}\cdot$

Soit

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}\,\varphi _{\alpha }(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},n_{1}^{0},n_{2}^{0},\ldots ,n_{n}^{0})$

un de ces termes, $\varphi _{\alpha }$ ne devenant pas infini pour $n_{1}^{0}=0.$ Après la substitution il vient

$\varphi _{\alpha }=\sum {\frac {\mu ^{\lambda }}{(n_{1}^{0})^{h}}}\,\psi (w_{i},n_{i}^{0})\quad (h\leqq 2\lambda ),$

$\psi$ ne devenant pas infini pour $n_{1}^{0}=0.$

Le terme général du second membre de (3), après la substitution, sera donc de la forme

${\frac {\mu ^{p+\lambda }}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+h}}}\psi ,$

et il est clair que

$q+h\leqq 2(p+\lambda )-1.$

La conclusion générale de tout ceci, c’est que dans les développements du n^o 127, les expressions des $x_{i}$ ne contiennent que des