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SÉRIES DE M. BOHLIN.
nous pourrons développer suivant les puissances croissantes de 
et nous obtiendrons les séries du no 127 ; si, au contraire, 
est
comparable à nous poserons 
et nous retomberons sur
les séries étudiées dans le présent Chapitre.
Voyons la chose d’un peu plus près. Les équations (1) prouvent
que 
et 
sont des fonctions doublement périodiques
de 
ou ce qui revient au même de 
Soient 
et 
les deux
périodes (en considérant 
comme la variable indépendante).
Par exemple, sera égale à l’intégrale du second membre prise
entre 
et 
et sera égale à deux fois cette intégrale prise
entre 
De plus, quand augmente de 
ne change
pas et quand augmente de 
augmente de 
Si 
est réel, et on doit prendre 
Alors 
et
sont des fonctions périodiques de 
de période Si 
est petit par rapport à 
on peut développer suivant les puissances
de (ce qui conduit aux séries du no 127) et chacun des
termes sera périodique de période 
par rapport à
Mais si est du même ordre de grandeur que et que l’on
pose 
il arrive que, pour une même valeur de 
la
période et le coefficient 
sont proportionnels à 
si alors
nous posons
les équations (1) deviennent
| (1 bis)
|
|
|
La seconde de ces équations ne dépend plus de 
Nous tirerons
de là et 
en séries développées suivant les sinus et les
cosinus des multiples de 
dépendant de mais indépendantes
de Ce sont les séries du présent Chapitre.
Les séries obtenues d’abord, développées suivant les puissances
