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CHAPITRE XX.

216.Examinons, en particulier, ce qui se passe quand $w_{1}$ est, par exemple, négatif et très grand ; les valeurs correspondantes de $y_{1}$ seront très petites, le second membre de (11) sera donc développable suivant les puissances croissantes de $y_{1}.$

Quant à l’équation (13), nous la transformerons comme il suit

(13 bis)

$e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}=\mathrm {tang} {\frac {y_{1}}{2}}e^{\frac {\gamma y_{1}}{\alpha }}e^{\frac {\Theta }{\alpha }}.$

Si $\alpha$ est positif, ainsi que je le suppose pour fixer les idées et si $w_{1}$ est négatif et très grand, l’exponentielle

$e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}$

sera très petite. Quant au second membre de (13 bis) il est développable suivant les puissances de $y_{1}.$

Écrivons donc nos équations sous la forme

(11 bis)

$w_{k}=y_{k}+\psi _{k},$

(13 bis)

$e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}=\psi _{1}.$

Les $\psi$ seront développables suivant les puissances de $y_{1}$ et de ${\sqrt {\mu }},$ et chacun des termes du développement sera périodique par rapport à

$y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

Les deux membres des équations (11 bis) et (13 bis) peuvent donc être regardés comme développés suivant les puissances de $y_{1},$ de ${\sqrt {\mu }}$ et de $e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}.$

Observons que $\alpha$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ et soit

$\alpha _{1}\,{\sqrt {\mu }}$

le premier terme du développement.

D’autre part, le premier terme du développement de $\gamma$ et de $\Theta$ sera en ${\sqrt {\mu }}\,;$ de sorte que le développement de ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et de ${\frac {\Theta }{\alpha }}$ commencera par un terme indépendant de ${\sqrt {\mu }}.$

Si dans les équations (11 bis) et (13 bis), nous faisons $\mu =0,$