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SÉRIES DE M. BOHLIN.

loppables suivant les sinus et les cosinus des multiples de

${\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

Considérons maintenant la troisième équation (2 bis) ; si l’on y fait $\lambda =0,$ on voit que $\mathrm {S}$ est de la forme (8) et en différentiant l’équation (8), on trouve

${\frac {d\mathrm {S} }{dx_{k}^{0}}}=y_{1}\,{\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}+y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}},$

d’où

(11)

$w_{1}\theta _{k}+w_{k}=y_{1}\,{\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}+y_{k}+{\frac {d\mathrm {S} '}{dx_{k}^{0}}}\cdot$

Le dernier terme du second membre est développable suivant les sinus et les cosinus des multiples de

${\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

Passons à la deuxième équation (2 bis) ; pour avoir ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}$ je différentie l’équation (10) après avoir fait $x_{k}^{0}=0.$

Il vient alors

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}=\mathrm {D} {\sqrt {\lambda -[\mathrm {F} _{1}]}}$

($\mathrm {D}$ étant une constante) ; car $\varphi _{2}$ devient nul.

On a donc

(12)

$\;{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}=-\!{\sum }^{q}{\frac {\mathrm {AD} ^{2}}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q-2}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\!\left(\omega \right)+\!\int \!{\sum }^{q}{\frac {\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} ^{2}}{2}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{-q-2}dy_{1}.$

Nous ferons après la différentiation $\lambda =0\,;$ alors, pour $y_{1}=0,$ ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ admet un zéro simple, $\mathrm {A}$ un zéro d’ordre $q+2$ et $\mathrm {A} _{1}$ un zéro d’ordre $q+1.$

Il en résulte que le premier terme du second membre de (12) reste fini, mais que dans le second terme la quantité sous le signe $\textstyle \int$ admet un infini simple pour $y_{1}=2k\pi ,$ de sorte qu’on peut